Question

20．已知拋物線y=ax²+x+c（a≠0）經過A（-1，0），B（2，0）兩點，與y軸相交于點C，點D為該拋物線的頂點．
（1）求該拋物線的解析式及點D的坐標；
（2）點E是該拋物線上一動點，且位于第一象限，當點E到直線BC的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，在x軸上有一點P，且∠EAO+∠EPO=∠α，當tanα=2時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），B（2，0）兩點代入拋物線y=ax²+x+c（a≠0）求出a，c的值，再求出其頂點坐標即可；
（2）作EN∥BC，交y軸于N，過C作CM⊥EN于M，令x=0求出y的值，故可得出∠OCB=45°．根據EN∥BC可知∠CNM=∠OCB=45°．由CM⊥EN于M得出∠CNM=∠CMN=45°．MN=CM=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，CN=1．故可得出直線NE的解析式，進而可得出E點坐標；
（3）過E作EF⊥AB于F，根據E（1，2）可知tan∠EOF=2，再由tan∠α=2得出∠EOF=∠α，利用等量代換得出∠EPO=∠AEO，故可得出△AEP∽△AOE，根據勾股定理得出AE的長，根據AP=8，OP=7可知P（7，0），由對稱性可得P'的坐標，進而可得出結論．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+x+c（a≠0）經過A（-1，0），B（2，0）兩點，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a-1+c=0}\\{4a+2+c=0}\end{array}}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ c=2\end{array}\right.$．
∴拋物線為y=-x²+x+2①，
∴頂點D（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）；

（2）如圖1，作EN∥BC，交y軸于N，過C作CM⊥EN于M，
∵令x=0，得y=2，
∴OC=OB=2．
∴∠OCB=45°．
∵EN∥BC，
∴∠CNM=∠OCB=45°．
∵CM⊥EN于M，
∴∠CNM=∠CMN=45°．
∴MN=CM=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∴CN=1．
∴直線NE的解析式為：y=-x+3②，
把②代入①，解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}}\right.$．
∴E（1，2）．

（3）如圖2，過E作EF⊥AB于F，
∵E（1，2），
∴tan∠EOF=2，
又∵tan∠α=2，
∴∠EOF=∠α，
∵∠EOF=∠EAO+∠AEO=∠α，
∠EAO+∠EPO=∠α，
∴∠EPO=∠AEO，
∵∠EAO=∠PAE，
∴△AEP∽△AOE，
∴$\frac{AP}{AE}=\frac{AE}{AO}$，
∵AE=$\sqrt{{2^2}+{2^2}}$=$2\sqrt{2}$，AO=1，
∴AP=8，
∴OP=7，
∴P（7，0），
由對稱性可得，P'（-5，0），
∴P（7，0）或（-5，0）．

點評 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)圖象上點的坐標特點、銳角三角函數(shù)的定義及相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識，難度較大．