Question

5．已知關于x的方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0．
（1）求證：無論k取何值，此方程總有實數(shù)根；
（2）若此方程有兩個整數(shù)根，求正整數(shù)k的值；
（3）若拋物線y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2與x軸的兩個交點之間的距離為3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）分k+1=0和k+1≠0兩種情況進行討論即可；
（2）首先表示出方程的兩根，兩根為x₁=-1，${x_2}=\frac{4}{k+1}-2$，只需k+1能整除4即可，求出k的值；
（3）根據(jù)題意可得x₁-x₂=3或x₂-x₁=3，進而列出k的方程，求出k的值．

解答 解：（1）當k=-1時，方程為-4x-4=0是一元一次方程，有一個實數(shù)根；
當k≠-1時，△=（3k-1）²-4（k+1）（2k-2）=（k-3）²≥0，此時方程有兩個實數(shù)根．
綜上所述，無論k取何值，此方程總有實數(shù)根．  

（2）∵$x=\frac{1-3k±（k-3）}{2（k+1）}$，
∴x₁=-1，${x_2}=\frac{4}{k+1}-2$，
∵方程的兩個根是整數(shù)，
∴k+1=±1，±2，±4，
又∵k為正整數(shù)，
∴k=1或3．              

（3）依題意得x₁-x₂=3或x₂-x₁=3，
當$-1-（\frac{4}{k+1}-2）=3$時，k=-3；
當$（\frac{4}{k+1}-2）-（-1）=3$時，k=0．
故k=-3或0．

點評 本題主要考查了拋物線與x軸的交點以及根的判別式的知識，解答本題的關鍵是掌握根的判別式與根個數(shù)的關系，解答此題還需要掌握根與系數(shù)的關系，此題難度不大．