Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P（a，b）和點Q（a，b′），給出如下定義：
若b′=$\left\{\begin{array}{l}{b，a≥1}\\{-b，a＜1}\end{array}\right.$，則稱點Q為點P的限變點．例如：點（2，3）的限變點的坐標(biāo)是（2，3），點（-2，5）的限變點的坐標(biāo)是（-2，-5）．
（1）①點$（{\sqrt{3}，1}）$的限變點的坐標(biāo)是（$\sqrt{3}$，1）；
②在點A（-2，-1），B（-1，2）中有一個點是函數(shù)$y=\frac{2}{x}$圖象上某一個點的限變點，這個點是點B；
（2）若點P在函數(shù)y=-x+3（-2≤x≤k，k＞-2）的圖象上，其限變點Q的縱坐標(biāo)b′的取值范圍是-5≤b′≤2，求k的取值范圍5≤k≤8；
（3）若點P在關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²-2tx+t²+t的圖象上，其限變點Q的縱坐標(biāo)b′的取值范圍是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s=m-n，求s關(guān)于t的函數(shù)解析式及s的取值范圍s≥2．

Answer 1

分析 （1）①直接根據(jù)限變點的定義直接得出答案；
②點（-1，-2）在反比例函數(shù)圖象上，點（-1，-2）的限變點為（-1，2），據(jù)此得到答案；
（2）根據(jù)題意可知y=-x+3（x≥-2）圖象上的點P的限變點必在函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+3，x≥1}\\{x-3，-2≤x＜1}\end{array}\right.$的圖象上，結(jié)合圖象即可得到答案；
（3）首先求出y=x²-2tx+t²+t頂點坐標(biāo)，結(jié)合t與1的關(guān)系確定y的最值，進(jìn)而用m和n表示出s，根據(jù)t的取值范圍求出s的取值范圍．

解答 解：（1）①根據(jù)限變點的定義可知點$（{\sqrt{3}，1}）$的限變點的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，1）； 
②（-1，-2）限變點為（-1，2），即這個點是點B． 

（2）依題意，y=-x+3（x≥-2）圖象上的點P的限變點必在函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+3，x≥1}\\{x-3，-2≤x＜1}\end{array}\right.$的圖象上．
∴b′≤2，即當(dāng)x=1時，b′取最大值2．
當(dāng)b′=-2時，-2=-x+3．
∴x=5．    
當(dāng)b′=-5時，-5=x-3或-5=-x+3．
∴x=-2或x=8．   
∵-5≤b′≤2，
由圖象可知，k的取值范圍是5≤k≤8．

（3）∵y=x²-2tx+t²+t=（x-t）²+t，
∴頂點坐標(biāo)為（t，t）．
若t＜1，b′的取值范圍是b′≥m或b′＜n，與題意不符．
若t≥1，當(dāng)x≥1時，y的最小值為t，即m=t；
當(dāng)x＜1時，y的值小于-[（1-t）²+t]，即n=-[（1-t）²+t]．
∴s=m-n=t+（1-t）²+t=t²+1．
∴s關(guān)于t的函數(shù)解析式為s=t²+1（t≥1），
當(dāng)t=1時，s取最小值2，
∴s的取值范圍是s≥2．
故答案為（$\sqrt{3}$，1）； 點B；5≤k≤8；s≥2．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握新定義“限變點”，解答此題還需要掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及最值的求解，此題有一定的難度．