Question

15．如圖，AB是⊙O的直徑，AT=AB，∠ABT=45°．
（1）求證：AT是⊙O的切線；
（2）E為OB上一點(diǎn)，DF⊥DE交AT于F．若DE=$\sqrt{10}$，TF=4，求⊙O的半徑長．

Answer 1

分析 （1）求出∠BAT=90°，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）證△DFE≌△DEA，求出AE=TF=4，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于R的方程，求出即可．

解答 （1）證明：∵在△BAT中，AT=AB，∠ABT=45°，
∴∠T=∠ABT=45°，
∴∠BAT=90°，
即BA⊥AT，
∵AB過圓心O，
∴AT是⊙O的切線；

（2）解：
連接AD，OD，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AT，
∴DT=BD，
∵∠BAT=90°，
∴DT=BD=AD，
∵∠BAT=90°，DE⊥DF，
∴∠DFA+∠DEA=360°-90°-90°=180°，
∵∠DFA+∠DFT=180°，
∴∠DFT=∠DEA，
∵∠TDA=∠ADB=∠BAT=90°，
∴∠DTA+∠DAT=90°，∠DAT+∠DAE=90°，
∴∠T=∠DAE，
在△DFT和△DEA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠T=∠DAE}\\{∠DFT=∠DEA}\\{TD=DA}\end{array}\right.$
∴△DFT≌△DEA，
∴DF=DE=$\sqrt{10}$，AE=FT=4，
設(shè)⊙O的半徑為R，
在Rt△DOE中，DE²=DO²+OE²，
（$\sqrt{10}$）²=R²+（4-R）²，
解得：R=1或3，
∵E在OB上，AE=4，
∴當(dāng)R=1時(shí)，AB=2＜4，此時(shí)不符合舍去，
即⊙O的半徑為3．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用性質(zhì)和定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．