Question

18．已知二次函數(shù)y=x²-2bx+c的圖象與x軸只有一個交點．
（1）b、c的關(guān)系式為c=b²；
（2）設(shè)直線y=9與該拋物線的交點為A、B，則|AB|=6；
（3）若拋物線上有兩個點C（m，n）、D（m+4，n），求|CD|及n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)y=x²-2bx+c的圖象與x軸只有一個交點得到△=4b²-4c=0，即可求出b和c的關(guān)系；
（2）由題可知y=x²-2bx+c=x²-2bx+b²=（x-b）²，令y=9，求出x的值，進而求出|AB|的長；
（3）首先求出|CD|的長，再用m表示出二次函數(shù)的對稱軸，最后把C（m，n）代入關(guān)系式即可求出n的值．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=x²-2bx+c的圖象與x軸只有一個交點，
∴△=4b²-4c=0，
∴c=b²，
故答案為c=b²；
（2）y=x²-2bx+c=x²-2bx+b²=（x-b）²，
令y=（x-b）²=9，
解得x=b+3或x=b-3，
即|AB|=b+3-b+3=6，
故答案為6；
（3）∵拋物線上有兩個點C（m，n）、D（m+4，n），
∴|CD|=m+4-m=4，
∴對稱軸為直線x=$\frac{m+4+m}{2}$=m+2，
∴b=m+2，
∴y=（x-m-2）²，
當(dāng)x=m時，n=4．

點評 本題主要考查了拋物線與x軸交點的知識，解答本題的關(guān)鍵是求出b和c的關(guān)系式，此題難度不大．