Question

8．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，AB⊥AC，
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求Rt△BAC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）證明Rt△ABO∽R(shí)t△CAO，利用相似比計(jì)算出OC=4，于是可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）；
（2）先利用勾股定理計(jì)算出AB和AC，而BC=5，然后根據(jù)三角形周長(zhǎng)的定義求解．

解答 解：（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，即∠BAO+∠CAO=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAO=∠ABO，
∴Rt△ABO∽R(shí)t△CAO，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OB}{OA}$，即$\frac{2}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴OC=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）；
（2）在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
BC=4-（-1）=5，
所以Rt△BAC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=$\sqrt{5}$+2$\sqrt{5}$+5=3$\sqrt{5}$+5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．