Question

16．已知：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=ax²+bx+c與直線y=mx+n相交于
A（0，-$\frac{1}{2}$），B（m-b，m²-mb+n）兩點，其中a，b，c，m，n均為實數(shù)，且a≠0，m≠0
（1）①填空：c=-$\frac{1}{2}$，n=-$\frac{1}{2}$；
②求a的值．
小明思考：∵B（m-b，m²-mb+n） 在拋物線y=ax²+bx+c上
∴m²-mb+n=a（m-b）²+b（m-b）+c
…
請根據(jù)小明的解題過程直接寫出a的值：a=1．
（2）若m=1，b=-2，設(shè)點P在拋物線y=ax²+bx+c上，且在直線AB的下方，求△ABP面積的取值范圍；
（3）當(dāng)-1≤x≤1時，求拋物線y=ax²+bx+c上到x軸距離最大的點的坐標(biāo)．（用含b的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 （1）①把A點坐標(biāo)分別代入拋物線和直線解析式，可分別求得c和n的值；②把B點坐標(biāo)代入拋物線解析式，結(jié)合①整理可求得a的值；
（2）由條件可得出拋物線解析式和直線解析式，過P作PQ∥y軸，交直線AB于點Q，設(shè)P點坐標(biāo)為（x，axx
x²+bx+c），則可表示出Q點坐標(biāo)，從而可表示出PQ的長，可表示出△PAB的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，可求得△ABP面積的取值范圍；
（3）根據(jù)求得的拋物線解析式可求得頂點坐標(biāo)、x=1、x=-1時對應(yīng)的y值，再分-$\frac{2}$≤-1，-1＜-$\frac{2}$≤0、0＜-$\frac{2}$≤1和-$\frac{2}$＞1四種情況分別討論y的最大值即可求得求拋物線y=ax²+bx+c上到x軸距離最大的點的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）①∵n拋物線y=ax²+bx+c與直線y=mx+n相交于A（0，-$\frac{1}{2}$），
∴把A點坐標(biāo)代入拋物線解析式可得c=-$\frac{1}{2}$，代入直線解析式可得n=-$\frac{1}{2}$，
故答案為：-$\frac{1}{2}$；-$\frac{1}{2}$；
②∵B（m-b，m²-mb+n）在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴m²-mb+n=a（m-b）²+b（m-b）+c，
∵c=n=-$\frac{1}{2}$，
∴m²-mb=a（m-b）²+b（m-b），整理可得（a-1）（m-b）=0，
∵A、B不重合，
∴m-b≠0，
∴a-1=0，解得a=1，
故答案為：1；
（2）若m=1，b=-2，則直線AB解析式為y=x-$\frac{1}{2}$，拋物線解析式為y=x²-2x-$\frac{1}{2}$，
如圖，過P作PQ∥y軸，交直線AB于點Q，

設(shè)P（x，x²-2x-$\frac{1}{2}$），則Q（x，x-$\frac{1}{2}$），
∵P點在直線AB下方，
∴PQ=（x-$\frac{1}{2}$）-（x²-2x-$\frac{1}{2}$）=-x²+3x，
∵B（3，$\frac{5}{2}$），
∴點B到PQ的距離為3-x，點A到PQ的距離為x，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$（-x²+3x）（3-x）+$\frac{1}{2}$（-x²+3x）x=$\frac{1}{2}$（-x²+3x）×3=-$\frac{3}{2}$（x²-3x）=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$
∴△ABP面積的最大值為$\frac{27}{8}$，
∴△ABP面積的取值范圍為：0＜S≤$\frac{27}{8}$；
（3）拋物線y=x²+bx-$\frac{1}{2}$的對稱軸為x=-$\frac{2}$，最小值為-$\frac{^{2}+2}{4}$，
當(dāng)x=-1時，y=$\frac{1}{2}$-b；當(dāng)x=1時，y=$\frac{1}{2}$+b，
①當(dāng)x=-$\frac{2}$≤-1，即b≥2時，
|$\frac{1}{2}$+b|-|$\frac{1}{2}$-b|=$\frac{1}{2}$+b+$\frac{1}{2}$-b=1＞0，
到x軸距離最大的點的坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{2}$+b）；
②當(dāng)-1＜-$\frac{2}$≤0，即0≤b＜2時，
|$\frac{1}{2}$+b|-|-$\frac{^{2}+2}{4}$|=$\frac{1}{2}$+b-$\frac{^{2}+2}{4}$=b（1-$\frac{4}$）＞0，
∴到x軸距離最大的點的坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{2}$+b）；
③當(dāng)0＜-$\frac{2}$≤1，即-2≤b＜0時，
|$\frac{1}{2}$-b|-|-$\frac{^{2}+2}{4}$|=$\frac{1}{2}$-b-$\frac{^{2}+2}{4}$=-b（1+$\frac{4}$）＞0，
∴到x軸距離最大的點的坐標(biāo)為（-1，$\frac{1}{2}$-b）；
④當(dāng)x=-$\frac{2}$＞1，即b＜-2時，
|$\frac{1}{2}$+b|-|$\frac{1}{2}$-b|=-$\frac{1}{2}$-b-（$\frac{1}{2}$-b）=-1＜0，
∴到x軸距離最大的點的坐標(biāo)為（-1，$\frac{1}{2}$-b）；
綜上所述，當(dāng)b≥0時，到x軸距離最大的點的坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{2}$+b）；
當(dāng)b＜0時，到x軸距離最大的點的坐標(biāo)為（-1，$\frac{1}{2}$-b）．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)、分類討論等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的步驟，在（2）中用P點坐標(biāo)表示出△PAB的面積是解題的關(guān)鍵，在（3）中把問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最大值是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，計算量較大，綜合性很強，難度較大．