Question

20．在△ABC中，∠ACB=90°，CB邊的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)D，交AB邊于點(diǎn)E，點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上．連接AF、CE．且AF=BE
（1）如圖1，求證：四邊形ACEF是平行四邊形；
（2）如圖2，連接BF，若∠ABC=30°，四邊形ACEF的面積為2$\sqrt{3}$．求線段BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）已知AF=EC，只需證明AF∥EC即可．DE垂直平分BC，易知DE是△ABC的中位線，則FE∥AC，BE=EA=CE=AF；因此△AFE、△AEC都是等腰三角形，可得∠F=∠5=∠1=∠2，即∠FAE=∠AEC，由此可證得AF∥EC；
（2）利用菱形的判定與性質(zhì)得出FD，BD的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出答案．

解答 （1）證明：如圖1，∵DE垂直平分BC，
∴D為BC的中點(diǎn)，ED⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴ED∥AC，
∴E為AB中點(diǎn)，
∴ED是△ABC的中位線．
∴BE=AE，F(xiàn)D∥AC，
∴BD=CD，
∴Rt△ABC中，CE是斜邊AB的中線，
∴CE=AE=AF，
∴∠F=∠5=∠1=∠2，
∴∠FAE=∠AEC，
∴AF∥EC，
又∵AF=EC，
∴四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）解：如圖2，E作EG⊥AC于點(diǎn)G，

∵∠ABC=30°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=60°，∠ECB=30°，
∴∠ACE=60°，
∴△AEC是等邊三角形，
又∵四邊形ACEF是平行四邊形，
∴四邊形ACEF是菱形，
∵四邊形ACEF的面積為2$\sqrt{3}$，
∴△AEC的面積是$\sqrt{3}$，
設(shè)AC=2x，則GC=x，EG=$\sqrt{3}$x，
故$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$x×2x=$\sqrt{3}$，
解得：x=1，
故DC=EG=$\sqrt{3}$，ED=GC=1，
則BD=$\sqrt{3}$，
故EF+ED=FD=3，BD=$\sqrt{3}$，
則BF=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定與性質(zhì)，正確得出△AEC是等邊三角形是解題關(guān)鍵．