Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），與y軸交于C（0，-4）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

分析 （1）將B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求得待定系數(shù)的值；
（2）由于菱形的對(duì)角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點(diǎn)必在OC的垂直平分線上，據(jù)此可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）由于△ABC的面積為定值，當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí)，△BPC的面積最大；過(guò)P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標(biāo)，即可得到PQ的長(zhǎng)，以PQ為底，B點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關(guān)于四邊形ACPB的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABPC的最大面積及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{16+4b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=-4}\end{array}\right.$；
所以二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x²-3x-4；

（2）存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形；
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²-3x-4），PP′交CO于E
若四邊形POP′C是菱形，則有PC=PO；
如圖1，連接PP′，則PE⊥CO于E，
∵C（0，-4），
∴CO=4，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=2
∴y=-2；
∴x²-3x-4=-2
解得：x₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$（不合題意，舍去），
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-2）；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，設(shè)P（x，x²-3x-4），設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+d，
則$\left\{\begin{array}{l}{d=-4}\\{4k+d=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{d=-4}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=x-4，
則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x-4）；
當(dāng)0=x²-3x-4，
解得：x₁=-1，x₂=4，
∴AO=1，AB=5，
S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△BPQ+S_△CPQ
=$\frac{1}{2}$AB•OC+$\frac{1}{2}$QP•BF+$\frac{1}{2}$QP•OF
=$\frac{1}{2}$×5×4+$\frac{1}{2}$（4-x）[x-4-（x²-3x-4）]+$\frac{1}{2}$x[x-4-（x²-3x-4）]
=-2x²+8x+10
=-2（x-2）²+18
當(dāng)x=2時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，-6），四邊形ABPC的面積的最大值為18．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、菱形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的求法等知識(shí)，當(dāng)所求圖形不規(guī)則時(shí)通常要將其轉(zhuǎn)換為其他規(guī)則圖形面積的和差關(guān)系來(lái)求解．