Question

4．已知：直線y=-$\frac{3}{4}$x+3與x軸y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，拋物線y=-$\frac{3}{8}$x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)P（m，0）是線段OA上的一點(diǎn)（不與O、A重合），過點(diǎn)P作PM垂直x軸，交拋物線于點(diǎn)M，連接BM、AC、AM，設(shè)四邊形ACBM的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)D是線段OP的中點(diǎn)，連接BD，當(dāng)S取最大值時，試求直線BD與AC所成的銳角度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出A、B坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式即可求出二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)題意作出輔助線，根據(jù)S=S_梯形OPMB-+S_△APM-S_△OAC可得函數(shù)解析式；
（3））由（2）中函數(shù)關(guān)系式得出m及S的值，根據(jù)點(diǎn)D是線段OP的中點(diǎn)得出D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AC、BD的解析式，故可得出G點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出DG的長，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，求出直線DF的解析式，故可得出F點(diǎn)的坐標(biāo)，求出DF的長，利用銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）在y=-$\frac{3}{4}$x+3中，
當(dāng)y=0時，x=4，所以A（4，0），
當(dāng)x=0時，y=3，所以B（0，3），
∵拋物線y=-$\frac{3}{8}$x²+bx+c經(jīng)過A、B，
∴$\left\{\begin{array}{l}-6+4b+c=0\\ c=3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=\frac{3}{4}\\ c=3\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3；

（2）如圖1所示，
∵P（m，0），
∴OP=m，PM=-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{3}{4}$m+3
∴S=S_梯形OPMB+S_△APM-S_△OAC
=$\frac{1}{2}$（PM+OB）•OP+$\frac{1}{2}$AP•PM-$\frac{1}{2}$OA•OC
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{3}{4}$m+3+3）•m+$\frac{1}{2}$（4-m）（-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{3}{4}$m+3）-$\frac{1}{2}$×4×2
=-$\frac{3}{4}$m²+3m+2（0＜m＜4）；

（3）∵由（2）知S=-$\frac{3}{4}$m²+3m+2，
∴當(dāng)m=2時，S_最大=5，
∴P（2，0）．
∵點(diǎn)D是線段OP的中點(diǎn)，
∴D（1，0）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵A（4，0），C（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}0=4k+b\\ b=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\ b=2\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2．
設(shè)直線BD的解析式為y=ax+c（a≠0），
∵B（0，3），D（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}c=3\\ a+c=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ c=3\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為y=-3x+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x+2\\ y=-3x+3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{5}\\ y=\frac{9}{5}\end{array}\right.$，
∴G（$\frac{2}{5}$，$\frac{9}{5}$），
∴DG=$\sqrt{（1-\frac{2}{5}）^{2}+（\frac{9}{5}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{81}{25}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．
過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，
∵直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴設(shè)直線DF的解析式為y=2x+d，
∵D（1，0），
∴2+d=0，解得d=-2，
∴設(shè)直線DF的解析式為y=2x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x+2\\ y=2x-2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{8}{5}\\ y=\frac{6}{5}\end{array}\right.$，
∴F（$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），
∴DF=$\sqrt{（1-\frac{8}{5}）^{2}+（\frac{6}{5}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠DGF=$\frac{DF}{DG}$=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}}{\frac{3\sqrt{10}}{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠DGF=45°，即直線BD與AC所成的銳角是45°．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形面積公式、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識，綜合性強(qiáng)，值得關(guān)注．