Question

17．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y₁=2x-2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，與雙曲線y₂=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于點C，過點D作CD⊥x軸，垂足為D，且OA=AD，則以下結(jié)論：
①S_△ADB=S_△ADC；②當(dāng)0＜x＜3時，y₁＜y₂；③如圖，當(dāng)x=3時，EF=$\frac{8}{3}$；④方程2x²-2x-k=0有解．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據(jù)題意可以求得AD、OA的長，點C和點B的坐標(biāo)，從而可以求出△ADB和△ADC的面積，從而可以判斷該結(jié)論是否正確；
②根據(jù)函數(shù)圖象可以判斷該結(jié)論是否正確；
③根據(jù)函數(shù)圖象可以得到0＜x＜3時，兩個函數(shù)的大小情況，從而可以判斷該結(jié)論是否成立；
④根據(jù)兩個函數(shù)圖象有交點，然后聯(lián)立方程組可知有解，通過變形可以得到方程2x²-2x-k=0，從而可以判斷該結(jié)論是否正確．

解答 解：將x=0代入y₁=2x-2得，y=-2；將y=0代入y₁=2x-2得x=1，
即點A的坐標(biāo)為（1，0），點B的坐標(biāo)為（0，-2），
∵OA=AD，
∴點D的坐標(biāo)是（2，0），
將x=2代入y₁=2x-2得，y=2，
∴點C的坐標(biāo)是（2，2），
∴${S}_{△ADB}=\frac{AD×OB}{2}=\frac{1×2}{2}=1$，${S}_{△ADC}=\frac{AD•CD}{2}=\frac{1×2}{2}=1$，故①正確；
由圖象可知，當(dāng)0＜x＜2時，y₁＜y₂，當(dāng)x＞2時，y₁＞y₂；故②錯誤；
∵點C（2，2）在雙曲線y₂=$\frac{k}{x}$上，
∴$2=\frac{k}{2}$，得k=4，
∴雙曲線y₂=$\frac{4}{x}$，
將x=3代入雙曲線y₂=$\frac{4}{x}$，得y=$\frac{4}{3}$；將x=3代入y₁=2x-2得y=4，
∴EF=$4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$，故③正確；
由圖象可知，y₁=2x-2與y₂=$\frac{k}{x}$在第一象限有解，
∴2x-2=$\frac{k}{x}$有解，
即2x²-2x-k=0有解，故④正確；
由上可得，①③④正確．
故選C．

點評 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．