Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=3，BC=4，⊙O內(nèi)切于△ABC，D，E，F(xiàn)為切點(diǎn)，直線CO交AB于點(diǎn)G．求DG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 連接OD，OE，OF過點(diǎn)G作GH⊥BC，垂足為H，設(shè)GH=x，根據(jù)內(nèi)心的定義和性質(zhì)得出OD=OE=OF，∠BCG=45°，從而得出CH=x，四邊形CEOF為正方形，由勾股定理得出OC=$\sqrt{2}$，再證明△BGH∽△BAC，得出GH，再證△COF∽△CGH，得出OG，利用勾股定理得出DG即可．

解答 解：連接OD，OE，OF，過點(diǎn)G作GH⊥BC，垂足為H，
設(shè)GH=x，∵⊙O內(nèi)切于△ABC，
∴OD=OE=OF，∠BCG=45°，
∴CH=x，四邊形CEOF為正方形，
∵AC=3，BC=4，
3-CF+4-CF=5，
∴CF=1，
∴OC=$\sqrt{2}$，
∴△BGH∽△BAC，
∴$\frac{GH}{AC}$=$\frac{BH}{BC}$，
∴$\frac{x}{3}$=$\frac{4-x}{4}$，
∴x=$\frac{12}{7}$，
∴△COF∽△CGH，
∴$\frac{OF}{GH}$=$\frac{OC}{CG}$，
∴$\frac{1}{\frac{12}{7}}$=$\frac{\sqrt{2}}{CG}$，
∴CG=$\frac{12}{7}$$\sqrt{2}$，
∴OG=$\frac{5}{7}$$\sqrt{2}$，
∴DG=$\frac{1}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，以及三角形的相似和勾股定理，是一道綜合性的題目，中考的常見題型，要熟練掌握．