Question

10．已知AB是⊙O的弦，用直尺和圓規(guī)作以AB為邊的圓內(nèi)接等腰三角形，若這樣的三角形恰好能作兩個(gè)，則AB：OA=2：1或$\sqrt{3}$：1．

Answer 1

分析 分類(lèi)討論：當(dāng)以AB為底邊作一個(gè)等邊△ACB和等腰△AC′B時(shí)，如圖1，作OH⊥AB于H，利用垂徑定理得到AH=BH，再利用點(diǎn)O為等邊△ACB的內(nèi)心得到∠OAH=30°，則根據(jù)余弦的定義可求出$\frac{AH}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以AB：OA=$\sqrt{3}$：1；當(dāng)以AB為底邊作兩個(gè)等腰Rt△ACB和Rt△AC′B時(shí)，如圖2，根據(jù)圓周角定理得到AB為直徑，于是有AB：OA=2：1．

解答 解：當(dāng)以AB為底邊作一個(gè)等邊△ACB和等腰△AC′B時(shí)，如圖1，作OH⊥AB于H，則AH=BH，
點(diǎn)O為等邊△ACB的內(nèi)心，∠OAH=30°，
在Rt△OAH中，∵cos∠OAH=$\frac{AH}{OA}$=cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AB：OA=$\sqrt{3}$：1；
當(dāng)以AB為底邊作兩個(gè)等腰Rt△ACB和Rt△AC′B時(shí)，如圖2，
因?yàn)椤螩=∠C′=90°，所以AB為直徑，
所以AB：OA=2：1．
故答案為2：1或$\sqrt{3}$：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的外接圓與外心：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．解決本題的關(guān)鍵是畫(huà)出幾何圖形．