Question

9．若方程x²-mnx+m+n=0有整數(shù)根，且m、n為自然數(shù)，求m、n的值．

Answer 1

分析 設(shè)方程兩整數(shù)根為x₁，x₂，則x₁+x₂=mn＞0，x₁•x₂=m+n＞0，再根據(jù)（x₁-1）（x₂-1）+（m-1）（n-1）=2，即可進行求解．

解答 解：設(shè)方程有整數(shù)根，則x₁+x₂=mn≥0，x₁•x₂=m+n＞0，故這兩個根均為正數(shù)．
又（x₁-1）（x₂-1）+（m-1）（n-1）=2，
其中（x₁-1）（x₂-1），m-1，n-1均非負(fù)，而為兩個非負(fù)整數(shù)和的情況僅有0+2；1+1；2+0．
分別可解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=5}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了根與系數(shù)關(guān)系，難度適中，主要掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．