Question

6．△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BC=$\sqrt{3}$．
（1）如圖1，若AC是⊙O的直徑，∠BAC=60°，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)D，使得DA=$\frac{1}{2}$BA，過點(diǎn)D作直線l⊥BD，垂足為點(diǎn)D，請(qǐng)將圖形補(bǔ)充完整，判斷直線l和⊙O的位置關(guān)系并說明理由．
（2）如圖2，∠B=120°，點(diǎn)D是優(yōu)弧$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，DE∥BC交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BE=2，請(qǐng)將圖形補(bǔ)充完整并求AB的值．

Answer 1

分析 （1）作OF⊥l于F，CE⊥l于E，設(shè)AD=a，則AB=2AD=2a，只要證明OF是梯形ADEC的中位線即可解決問題．
（2）只要證明△EDA≌△BDC，得AE=BC，即可解決問題．

解答 解：（1）圖形如圖所示，直線l與⊙O相切．
理由：作OF⊥l于F，CE⊥l于E，
∵AC是直徑，
∴∠ABC=90°，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∴BD⊥DE，
∴AD∥OF∥CE，
∵AO=OC，
∴DF=FE，
∴OF=$\frac{1}{2}$（AD+CE），設(shè)AD=a，則AB=2AD=2a，
∵∠ABC=∠BDE=∠CED=90°，
∴四邊形BDEC是矩形，
∴CE=BD=3a，
∴OF=2a，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2a，
∴AC=4a，
∴OF=OA，
∴直線l是⊙O切線．
（2）圖形如圖2所示，連接AD，BD，CD．
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，∠ABC=120°，
∴∠EBD=∠CBD=60°，
∵DE∥CB，
∴∠ABC+∠E=180°，
∴∠E=60°，
∴△BED是等邊三角形，
∴∠EDB=60°，ED=DB，
∵∠ACD=∠ABD=60°，∠DAC=∠CBD=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ADC=60°，DA=DC，
∴∠EDB=∠ADC，
∴∠EDA=∠BDC，
在△EDA和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=BD}\\{∠ADE=∠BDC}\\{DA=DC}\end{array}\right.$，
∴△EDA≌△BDC，
∴AE=BC=$\sqrt{3}$，
∵BE=2，
∴AB=BE-AE=2-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系、圖形中位線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造圖形中位線，或構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．