Question

11．已知關(guān)于x的方程（x-1）（x²-3x+m）=0，m為實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)m=4時(shí)，求方程的根；
（2）若方程的三個(gè)實(shí)根中恰好有兩個(gè)實(shí)根相等，求m的值；
（3）若方程的三個(gè)實(shí)根恰好能成為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把m=4代入方程，得出（x-1）（x²-3x+4）=0，那么x-1=0或x²-3x+4=0，分別求解即可；
（2）由于x-1=0時(shí)x₁=1，設(shè)方程x²-3x+m=0的兩根為x₂，x₃，分x₂=1，與x₂=x₃兩種情況進(jìn)行討論；
（3）設(shè)方程x²-3x+m=0的兩根為x₂，x₃，由根與系數(shù)的關(guān)系得出x₂+x₃=3，x₂•x₃=m．根據(jù)方程的三個(gè)實(shí)根恰好能成為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，得出$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\△=9-4m≥0\\|{x_2}-{x_3}|＜1\end{array}\right.$，求解即可．

解答 解：（1）m=4時(shí)方程為（x-1）（x²-3x+4）=0，
得x-1=0或x²-3x+4=0，
由x-1=0得x=1，
由x²-3x+4=0得△=9-16=-7＜0，該方程無(wú)實(shí)數(shù)解，
故方程的實(shí)根為x=1；

（2）由x-1=0得x₁=1．
由x²-3x+m=0，得△=9-4m≥0，設(shè)方程兩根為x₂，x₃，
若x₂=1，則1-3+m=0，得m=2，方程為x²-3x+2=0，解得得x₂=1，x₃=2符合題意；
若x₂=x₃時(shí)，△=9-4m=0，得$m=\frac{9}{4}$，方程為${x^2}-3x+\frac{9}{4}=0$，得${x_2}={x_3}=\frac{3}{2}$，符合題意．
綜上知m=2或$m=\frac{9}{4}$；

（3）方程的三個(gè)實(shí)根滿足x₁=1，
由x²-3x+m=0，得△=9-4m≥0，設(shè)方程兩根為x₂，x₃，
則x₂+x₃=3，x₂•x₃=m，
方程的三個(gè)實(shí)根恰好能成為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，
則$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\△=9-4m≥0\\|{x_2}-{x_3}|＜1\end{array}\right.$，
由$|{x_2}-{x_3}|=\sqrt{{{（{{x_2}+{x_2}}）}^2}-4{x_2}{x_3}}=\sqrt{9-4m}＜1$，
得m＞2，
解得$2＜m≤\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．