Question

10．我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形．
（1）如圖1，四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點．
求證：中點四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）如圖2，點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，且滿足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；
（3）若改變（2）中的條件，使∠APB=∠CPD=90°，其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFGH的形狀．（不必證明）

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接BD，根據(jù)三角形中位線定理只要證明EH∥FG，EH=FG即可．
（2）四邊形EFGH是菱形．先證明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再證明EF=FG即可．
（3）四邊形EFGH是正方形，只要證明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可證明∠COD=∠CPD=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明．

解答 （1）證明：如圖1中，連接BD．
∵點E，H分別為邊AB，DA的中點，
∴EH∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，
∵點F，G分別為邊BC，CD的中點，
∴FG∥BD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中點四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）四邊形EFGH是菱形．
證明：如圖2中，連接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD
即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=PB}\\{∠APC=∠BPD}\\{PC=PD}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△BPD，
∴AC=BD
∵點E，F(xiàn)，G分別為邊AB，BC，CD的中點，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BD，
∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴四邊形EFGH是菱形．
（3）四邊形EFGH是正方形．
證明：如圖2中，設AC與BD交于點O．AC與PD交于點M，AC與EH交于點N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，
∵四邊形EFGH是菱形，
∴四邊形EFGH是正方形．

點評 本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活應用三角形中位線定理，學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．