Question

15．如圖，正方形ABCD是一張邊長(zhǎng)為12公分的皮革．皮雕師傅想在此皮革兩相鄰的角落分別切下△PDQ與△PCR后得到一個(gè)五邊形PQABR，其中PD=2DQ，PC=RC，且P、Q、
R三點(diǎn)分別在CD、AD、BC上，如圖所示．
（1）當(dāng)皮雕師傅切下△PDQ時(shí)，若DQ長(zhǎng)度為x公分，請(qǐng)你以x表示此時(shí)△PDQ的面積． 
（2）承（1），當(dāng)x的值為多少時(shí)，五邊形PQABR的面積最大？請(qǐng)完整說(shuō)明你的理由并求出答案．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件表示出PD，從而得到△PDQ的面積；
（2）分別求出正方形ABCD的面積，△PDQ，△PCR的面積，再作差求出五邊形的面積，最后確定出取極值時(shí)的x值．

解答 解：（1）設(shè)DQ=x公分，
∴PD=2DQ=2x公分，
∴S_△PDQ=$\frac{1}{2}$x×2x=x²（平方公分），
（2）∵PD=2x公分，CD=12公分，
∴PC=CR=12-2x（公分），
∴S_{五邊形PQABR}=S_{正方形ABCD}-S_△PDQ-S_△PCR
=12²-x²-$\frac{1}{2}$（12-2x）²
=144-x²-$\frac{1}{2}$（144-48x+4x²）
=144-x²-72+24x-2x²
=-3x²+24x+72
=-3（x²-8x+4²）+72+3×16
=-3（x-4）²+120，
故當(dāng)x=4時(shí)，五邊形PQABR有最大面積為120平方公分．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了三角形面積的計(jì)算，五邊形面積的計(jì)算方法，解本題的關(guān)鍵是三角形的面積的計(jì)算．