Question

已知P為⊙O的直徑DC延長線上一點，過點P作⊙O的切線PA、PB，切點為A、B，連接AB交PO于E，過D作DF⊥PA延長線于F，連AC、EF、BD．則下列結論正確的是

 

．
①C為△PAB內心；②AC⊥EF；③AB=2AF；④BD為△PAB外接圓切線．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：連接AD，BC，根據(jù)切線的性質，得出PA=PB，∠APD=∠BPD，根據(jù)等腰三角形的性質得出PE⊥AB，AB=2AE，通過△APD≌△BPD得出∠ADC=∠BDC，根據(jù)圓周角的性質得出

AC

=

BC

，進而得出∠BAC=∠ABC，根據(jù)圓周角和弦切角的性質得出∠PAC=∠ABC，即可得出AC是∠PAB的平分線，BC是∠PBA的平分線，從而確定C為△PAB內心，故①正確；
根據(jù)直徑所對的角是直角，得出AD⊥AC，由于AD與EF相交，所以AC不會垂直于EF，故②錯誤；
根據(jù)弦切角的性質以及互為余角的性質得出AD是∠PDF的平分線，根據(jù)角平分線的性質即可得出AE=AF，進而得出AB=2AF，故③正確；
由于BC⊥BD，C為△PAB內心，只有C同時也是外心才能判定BD為△PAB外接圓切線，即△PAB是等邊三角形，由于不能求得是等邊三角形，故④錯誤．

解答：解：連接AD，BC，
∵過點P作⊙O的切線PA、PB，切點為A、B，
∴PA=PB，
∴∠APD=∠BPD，
∴PE⊥AB，AB=2AE，
在△APD和△BPD中，

PA=PB ∠APD=∠BPD PD=PD

，
∴△APD≌△BPD（SAS），
∴∠ADC=∠BDC，
∴

AC

=

BC

，
∴∠BAC=∠ABC，
∵PA、PB是切線，
∴∠PAC=∠ABC，
∴∠PAC=∠BAC，
∴AC是∠PAB的平分線，
同理，BC是∠PBA的平分線，
∴C為△PAB內心，故①正確；
∵DC是直徑，
∴AD⊥AC，
∵AD與EF相交，
∴AC不會垂直于EF，故②錯誤；
∵∠PAC=∠ADC，∠DAC=90°，
∴∠DAF+∠PAC=90°，
∴∠ADC+∠DAF=90°，
∵DF⊥PA，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ADC=∠ADF，
∴AE=AF，
∴AB=2AF，故③正確；
∵CD是直徑，
∴CB⊥BD，
要使BD為△PAB外接圓切線，BC必經過△PAB外接圓的圓心，
∵PD垂直平分AB，
∴點C即為三角形的外心，
∵C為△PAB內心，
∵不能確定△PAB是等邊三角形，
∴BD為△PAB外接圓切線不能確定，故④錯誤．
故答案為①③．

點評：本題考查了切線的性質，圓周角，弦切角的性質，三角形全等的判定和性質，熟練掌握性質和定理是解題的關鍵．