Question

已知，如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，連接PQ，若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問(wèn)題：
（1）設(shè)△AQP的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）求三角形APQ的面積就要先確定底邊和高的值，底邊AQ可以根據(jù)Q的速度和時(shí)間t表示出來(lái)．關(guān)鍵是高，可以用AP和∠A的正弦值來(lái)求．AP的長(zhǎng)可以用AB-BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ邊上的高后，就可以得出y與t的函數(shù)關(guān)系式．
（2）如果將三角形ABC的周長(zhǎng)和面積平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的長(zhǎng)，那么可以求出此時(shí)t的值，我們可將t的值代入（1）的面積與t的關(guān)系式中，求出此時(shí)面積是多少，然后看看面積是否是三角形ABC面積的一半，從而判斷出是否存在這一時(shí)刻．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H．
∵△APH∽△ABC，
∴

PC

BC

=

AP

AB

，
∴

PH

3

=

5-t

5

，
∴PH=3-

3

5

t，
∴y=

1

2

×AQ×PH=

1

2

×2t×（3-

3

5

t）=-

3

5

t²+3t．

（2）不存在．
理由：∵若PQ把△ABC周長(zhǎng)平分，
∴AP+AQ=BP+BC+CQ．
∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t），解得t=1．
若PQ把△ABC面積平分，則S_△APQ=

1

2

S_△ABC，-

3

5

t²+3t=3．
∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在這一時(shí)刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，此類問(wèn)題是中考中常見(jiàn)的題目，在解答（2）時(shí)要注意進(jìn)行分類討論．