Question

12．如圖，在邊長(zhǎng)為$6\sqrt{2}$的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC邊上，且∠EAF=45°，連接EF，則BF的長(zhǎng)為（　�。�

• A． $2\sqrt{2}$
• B． 3
• C． $3\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 如圖，作輔助線，首先證明△AFE≌△AGE，進(jìn)而得到EF=FG，問題即可解決．

解答 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∴把△ABF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖：

∴∠BAF=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠EAF=∠EAG，
∵∠ADG=∠ADC=∠B=90°，
∴∠EDG=180°，點(diǎn)E、D、G共線，
在△AFE和△AGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠FAE=∠EAG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AGE（SAS），
∴EF=EG，
即：EF=BE+DF，
∵E為CD的中點(diǎn)，邊長(zhǎng)為$6\sqrt{2}$的正方形ABCD，
∴CD=BC=6$\sqrt{2}$，DE=CE=3$\sqrt{2}$，∠C=90°，
∴設(shè)BF=x，則CF=6$\sqrt{2}$-x，EF=3$\sqrt{2}$+x，
在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF²=CE²+CF²，
（3$\sqrt{2}$+x）²=（3$\sqrt{2}$）²+（6$\sqrt{2}$-x）²，
解得：x=2$\sqrt{2}$，
即BF=2$\sqrt{2}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．