Question

3．如圖1，已知雙曲線${y_1}=\frac{k}{x}（k＞0）$與直線y₂=k'x交于A，B兩點，點A在第一象限．試解答下列問題：
（1）若點A的坐標為（4，2），則點B的坐標為（-4，-2）； 當x滿足：-3≤x＜0或x≥3時，y₁＞y₂；
（2）過原點O作另一條直線l，交雙曲線$y=\frac{k}{x}（k＞0）$于P，Q兩點，點P在第一象限，如圖2所示．
①四邊形APBQ一定是平行四邊形；
②若點A的坐標為（3，1），點P的橫坐標為1，求四邊形APBQ的面積．

Answer 1

分析 （1）由A和B為正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，得到A和B關(guān)于原點對稱，由A的坐標即可求出B的坐標；由A和B的橫坐標及原點的橫坐標0，將x軸分為四個范圍，分別為：x＜-4，-4＜x＜0，0＜x＜4，x＞4，找出一次函數(shù)在反比例函數(shù)上方的范圍即可；
（2）①由OP=OQ，OA=OB，利用對角線互相平分的四邊形為平行四邊形可得四邊形APBQ一定是平行四邊形；
②由A得坐標確定出反比例函數(shù)解析式，將P得橫坐標x=1代入反比例解析式中，求出P的縱坐標，確定出P的坐標，過P作PN垂直于x軸，過A作AM垂直于x軸，可得出PN，AM，ON，OM的長，進而求出MN的長，根據(jù)四邊形OPAM的面積-三角形AOM的面積表示出三角形AOP的面積，而四邊形OPAM的面積=三角形OPN的面積+梯形AMNP的面積，可求出三角形AOP的面積，在三角形ABP中，由O為AB的中點，根據(jù)等底同高得到三角形AOP的面積與三角形BOP的面積相等，同理得到三角形BOQ的面積=三角形AOQ的面積=三角形AOP的面積=三角形BOP的面積，而這四個三角形的面積之和為平行四邊形APBQ的面積，即可求出四邊形APBQ的面積．

解答 解：（1）由A和B為反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，
得到A和B關(guān)于原點對稱，
∵A（4，2），
∴B（-4，-2）．
由圖象可得：當-4≤x＜0或x≥4時，y₁≤y₂．
故答案為：（-4，-2），-4≤x＜0或x≥4；

（2）①∵OP=OQ，OA=OB，
∴四邊形APBQ為平行四邊形；
②過A作AM⊥x軸，過P作PN⊥x軸，如圖所示：
由A（3，1）在反比例函數(shù)圖象上，得到反比例解析式為y=$\frac{3}{x}$，
∵P的橫坐標為1，P在反比例函數(shù)圖象上，
∴將x=1代入反比例解析式得：y=3，即P（1，3），
∴AM=1，OM=3，PN=3，ON=1，MN=OM-ON=2，
則S_△AOP=S_{四邊形OPAM}-S_△AOM=S_△PON+S_梯形AMNP-S_△AOM
=$\frac{1}{2}$PN•ON+$\frac{1}{2}$（AM+PN）•MN-$\frac{1}{2}$AM•OM
=$\frac{1}{2}$×3×1+$\frac{1}{2}$×（1+3）×2-$\frac{1}{2}$×1×3
=4，
在△APB中，O為AB的中點，即AO=BO，
∴S_△AOP=S_△BOP，
同理S_△BOQ=S_△AOQ=S_△AOP=S_△BOP，
又∵S_{平行四邊形APBQ}=S_△BOQ+S_△AOQ+S_△AOP+S_△BOP，
∴S_{平行四邊形APBQ}=4S_△AOP=16．
故答案為：平行四邊形．

點評 此題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及的知識有：對稱的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，坐標與圖形性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及三角形、梯形面積的求法，利用了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想，其中當正比例函數(shù)與反比例函數(shù)要有交點，必然有兩個，且兩點關(guān)于原點對稱，靈活運用此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．