Question

18．如圖，已知等邊△ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)到△ABC三邊AB、AC、BC（或其延長(zhǎng)線）的距離分別為h₁、h₂、h₃，△ABC的高為h．
在圖（1）中，點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，此時(shí)h₃=0，可得結(jié)論：h₁+h₂+h₃=h．
在圖（2）--（5）中，點(diǎn)P分別在線段MC上、MC延長(zhǎng)線上、△ABC內(nèi)、△ABC外．
（1）請(qǐng)?zhí)骄浚簣D（2）--（5）中，h₁、h₂、h₃、h之間的關(guān)系；（直接寫出結(jié)論）
（2）證明圖（2）所得結(jié)論；
（3）證明圖（4）所得結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知可以證得：②h_l+h₂+h₃=h；③h₁-h₂+h₃=h；④h₁+h₂+h₃=h；⑤h₁+h₂-h₃=h；
（2）連接AP，可得S_△APB+S_△APC=S_△ABC，由h₃=0，AB=AC=BC，即可證得h₁+h₂+h₃=h；
（3）連接PA、PB、PC，可得S_△APB+S_△APC=S_△ABC+S_△BPC，由AB=AC=BC，即可求得h₁+h₂=h+h₃，則可得h₁+h₂-h₃=h．

解答 解：（1）②h_l+h₂+h₃=h；③h₁-h₂+h₃=h；④h₁+h₂+h₃=h；⑤h₁+h₂-h₃=h．

（2）圖1中，h₁+h₂+h₃=h．
連接AP，
則S_△APB+S_△APC=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$AB×h₁+$\frac{1}{2}$AC×h₂=$\frac{1}{2}$BC×h．
又h₃=0，AB=AC=BC，
∴h₁+h₂+h₃=h．

（3）圖2中，h₁+h₂-h₃=h．
連接PA、PB、PC，（如答圖）
則S_△APB+S_△APC=S_△ABC+S_△BPC．
∴$\frac{1}{2}$AB×h_l+$\frac{1}{2}$AC×h₂=$\frac{1}{2}$BC×h+$\frac{1}{2}$BC×h₃
又AB=AC=BC，
∴h₁+h₂=h+h₃．
∴h₁+h₂-h₃=h．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形綜合題．主要掌握等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出三角形，根據(jù)三角形的面積公式求解是解答此題的關(guān)鍵．