Question

如圖，⊙O的兩條弦AB、CD相交于點P，M、N分別是AB、CD的中點，PM=PN，求證：AB=CD．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理

專題：證明題

分析：連結OB、OD，如圖，根據(jù)垂徑定理的推論，由M、N分別是AB、CD的中點得到OM⊥AB，ON⊥CD，AM=BM，CN=DN，再由PM=PN得到∠PMN=∠PNM，根據(jù)等角的余角相等得∠OMN=∠ONM，則OM=ON，接著根據(jù)勾股定理可得BM=DN，于是有AB=CD．

解答：證明：連結OB、OD，如圖，
∵M、N分別是AB、CD的中點，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠OMA=90°，∠ONC=90°，AM=BM，CN=DN，
∵PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM，
∴∠OMN=∠ONM，
∴OM=ON，
在Rt△OMB中，BM=

OB2-OM2

；在Rt△ODN中，DN=

OD2-ON2

，
而OB=OD，
∴BM=DN，
∴AB=CD．

點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。黄椒窒遥ú皇侵睆剑┑闹睆酱怪庇谙�，并且平分弦所對的兩條弧．