Question

1．如圖，拋物線y=ax²-4ax+2經(jīng)過△ABC的三個頂點(diǎn)，已知BC∥x軸，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，且OA=OC．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)并出求拋物線的解析式；
（3）探究：若點(diǎn)P是拋物線對稱軸上且在x軸下方的動點(diǎn)，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)配方法，可得函數(shù)的對稱軸；
（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對稱性，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)等腰三角形的定義，可得關(guān)于b的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）y=ax²-4ax+2=a（x-2）²+2-4a，
拋物線的對稱軸為直線x=2；
（2）當(dāng)x=0時，y=2，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
由OA=OC=2，得A（-2，0），
將A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
4a+8a+2=0，解得a=-$\frac{1}{6}$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{2}{3}$x+2，
由B、C關(guān)于對稱軸x=2對稱，得
B點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，橫坐標(biāo)是4，即B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）；
（3）存在，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，b），
AP²=（2+2）²+b²，PB²=（2-4）²+（b-2）²，AB²=（4+2）²+2²，
當(dāng)AP=PB時，16+b²=4+（b-2）²，解得b=-2，即P（2，-2）；
當(dāng)AP=AB時，16+b²=（4+2）²+2²，解得b=2$\sqrt{6}$（不符合題意，舍）b=-2$\sqrt{6}$，即P（2，-2$\sqrt{6}$），
當(dāng)PB=AB時，（2-4）²+（b-2）²=（4+2）²+2²，解得b=8（不符合題意，舍）b=-4，即P（2，-4），
綜上所述：P（2，-2$\sqrt{6}$）（2，-4）（2，-2）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用配方法求函數(shù)的對稱軸是解題關(guān)鍵；利用等腰三角形的定義得出關(guān)于b的方程是解題關(guān)鍵．