Question

9．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，A（1，0）．
（1）若a=-1，函數(shù)圖象與x軸只有一個交點(diǎn)，求b的值；
（2）若c=1，0＜a＜1，設(shè)B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_B，求證：x_B＞1；
（3）若a=1，c≥3，問是否存在實數(shù)m，使得z=y-m²x在x＞0時，z隨x的增大而增大？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件拋物線化為：y=-x²+bx-b+1，由△=0即可解決問題．
（2）根據(jù)條件拋物線化為：y=ax²-（a+1）x+1，令y=0求出點(diǎn)B橫坐標(biāo)即可．
（3）不存在．由題意：z=y-m²x=x²-（c+1+m²）x+c，根據(jù)對稱軸的位置即可判斷．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（1，0）代入y=ax²+bx+c得a+b+c=0，
∵a=-1，∴c=-b+1，
∴拋物線為y=-x²+bx-b+1，
由題意△=0，
∴b²-4b+4=0，
∴（b-2）²=0，
∴b=2．
（2）∵b=-a-c，c=1，
∴拋物線為y=ax²-（a+1）x+1，
令y=0，則有ax²-（a+1）x+1=0，
∴（x-1）（ax-1）=0，
∴x=1或$\frac{1}{a}$，
∵0＜a＜1，
∴$\frac{1}{a}$＞1，
∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_B＞1．
（3）不存在．理由如下：
∵b=-a-c，a=1，
∴b=-1-c，
∴拋物線為y=x²-（c+1）x+c，
∴z=y-m²x=x²-（c+1+m²）x+c，
∵對稱軸x=$\frac{c+1+{m}^{2}}{2}$，
又∵c≥3，m²≥0，
∴對稱軸x＞0．
∴當(dāng)0＜x＜$\frac{c+1+{m}^{2}}{2}$時，z隨x的增大而減小，
∴這樣的m不存在．

點(diǎn)評 本題考查拋物線與x軸交點(diǎn)問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題是解題的關(guān)鍵，學(xué)會分類討論的思想，屬于中考�？碱}型．