Question

5．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，點D是$\widehat{ABC}$的中點，弦DE⊥AB，垂足為點F，DE交AC于點G．
（1）找出圖中相等的線段；
（2）在圖中過點E作⊙O的切線EM，交AC的延長線于點M，試問：是否又有相等的線段？并證明．

Answer 1

分析 （1）連接EC，圖中相等的應(yīng)該有半徑AO=OB，根據(jù)垂徑定理即可證明圖中應(yīng)該還有4對相等的線段，所以可得有5對相等線段；
（2）可通過角的關(guān)系來判斷邊的關(guān)系，根據(jù)EM是圓O的切線，如果我們連接AD、AE，那么∠GEM=∠EAD，現(xiàn)在的關(guān)鍵是證明∠MGE=∠EAD，因為∠MGE=∠EAG+∠DEA，∠DAE=∠EAG+∠DAG，如果要得出∠DAG=∠DEA的話，就能得出∠MGE=∠MEG的結(jié)論，而題中告訴了于=，因此這兩個角就相等了．由此便可根據(jù)等角對等邊來得出ME=MG．

解答 解：（1）AO=OB，DF=EF，AC=DE，AG=DG，CG=GE；

（2）ME=MG成立，
證明：連接AD、AE，
∵$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，
∴∠DEA=∠CAD，
∵∠EGM=∠DEA+∠EAM，
∴∠EGM=∠EAM+∠CAD=∠EAD；
∵EM是⊙O的切線，
∴∠GEM=∠EAD，
∴∠EGM=∠GEM，
∴ME=MG．

點評 本題主要考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理，垂徑定理等知識點的綜合應(yīng)用，根據(jù)圓周角得出弧相等進而得出相關(guān)的角相等是解題的關(guān)鍵．