Question

19．已知二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx的圖象過點A（4，0），設點C（1，-3），在拋物線的對稱軸上求一點P，使|PA-PC|的值最大，則點P的坐標為（2，-6）．

Answer 1

分析 先把A（4，0）代入y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx，求出b的值，得到二次函數(shù)解析式，再根據(jù)拋物線的對稱性求出二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}{x^2}$-2x與x軸的另一交點是O（0，0），由A、O關于對稱軸對稱，則可知PA=PO，則當P、O、C三點在一條線上時滿足|PA-PC|最大，利用待定系數(shù)法可求得直線OC解析式，則可求得P點坐標．

解答 解：∵二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx的圖象過點A（4，0），
∴0=$\frac{1}{2}$×4²+4b，解得b=-2，
∴y=$\frac{1}{2}{x^2}$-2x，
∴對稱軸為x=$\frac{2}{2×\frac{1}{2}}$=2，
∵二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}{x^2}$-2x與x軸交于點A（4，0），
∴它與x軸的另一交點是O（0，0），
∵P在對稱軸上，
∴PA=PO，
∴|PA-PC|=|PO-PC|≤OC，即當P、O、C三點在一條線上時|PA-PC|的值最大，
設直線OC解析式為y=kx，
∴k=-3，
∴直線OC解析式為y=-3x，
令x=2，可得y=-3×2=-6，
∴存在滿足條件的點P，其坐標為（2，-6）．
故答案為（2，-6）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，軸對稱的性質(zhì)等知識．求出二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}{x^2}$-2x與x軸的另一交點是O（0，0），得出P、O、C三點共線時|PA-PC|的值最大是解題的關鍵．