Question

13．學校兩幢教學樓之間有一塊三角形地帶，將其劃分為三個區(qū)域：一塊菱形和兩塊三角形．菱形作為花壇，兩個三角形內(nèi)鋪上草皮，兩幢教學樓的夾角為120°，其余尺寸如圖所示，則菱形花壇的面積為$\frac{7200\sqrt{3}}{19}$m²．

Answer 1

分析 如圖，設菱形AEDF的邊長為6k，作BM⊥CA交CA的延長線于M，利用平行線的性質求出BE、CF（用k表示），在RT△ABM中，利用30°性質用k表示AM、BM，在RT△BCM中利用勾股定理求出k即可解決問題．

解答 解：如圖，設菱形AEDF的邊長為6k，作BM⊥CA交CA的延長線于M．

∵DE∥AC，DF∥AB，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{BD}{DC}$=$\frac{40}{60}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{FC}{AF}$=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{3}{2}$，
∴BE=4k，CF=9k，AB=10k，AC=15k，
在RT△ABM中，∵∠M=90°，AB=10k，∠MAB=60°，
∴∠ABM=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=5k，BM=5$\sqrt{3}$k，
在RT△BCM中，∵BM²+CM²=BC²，
∴75k²+400k²=10000，
∴k=$\frac{20}{\sqrt{19}}$（負根已經(jīng)舍棄），
∵四邊形AEDF是菱形，∠EAF=120°，
∴AE=ED=DF=AF，∠DAE=∠DAF=60°，
∴△AED，△ADF都是等邊三角形，
∴S_菱形AEDF=2•S_△ADE=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×AE²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（6×$\frac{20}{\sqrt{19}}$）²=$\frac{7200\sqrt{3}}{19}$．
故答案為$\frac{7200\sqrt{3}}{19}$．

點評 本題考查菱形的性質、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是添加輔助線，構造直角三角形，利用參數(shù)解決問題，屬于中考�？碱}型．