Question

5．如圖，拋物線y=-$\frac{4}{9}$（x-2）²+4交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其頂點(diǎn)為C，將拋物線沿x軸向左平移m（m＞0）個(gè)單位，點(diǎn)B、C平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D、E，且兩拋物線在x軸的上方交于點(diǎn)P，連接PA、PD．
（1）判斷△PAD能否為直角三角形？若能，求m的值；若不能，說明理由；
（2）若點(diǎn)F在射線CE上，當(dāng)以A、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△PAD相似時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）不存在，不妨設(shè)△PAD是直角三角形，過點(diǎn)P作PQ⊥AD于Q，可以推出AD=2PQ，列出方程，推出矛盾即可解決問題．
（2）首先判斷只存在△CAF∽△PAD這種情形，如圖2中，過點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，點(diǎn)A作AN⊥CF于點(diǎn)N，過點(diǎn)A作AG⊥PD于點(diǎn)G，先求出點(diǎn)F坐標(biāo)，設(shè)PG=3x，則AG=4x，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）令y=0，則-$\frac{4}{9}$（x-2）²+4=0，
解得x=-1或5，
∴A（-1，0），B（5，0），C（2，4），
如圖1中，過點(diǎn)P作PQ⊥AD于Q，根據(jù)對(duì)稱性可知PA=PD，
∴△PAD是等腰三角形，
設(shè)D（5-m，0），則Q（$\frac{4-m}{2}$，0），
∴P（$\frac{4-m}{2}$，-$\frac{1}{9}$m²+4），
若△PAD是直角三角形，則△PAD是等腰直角三角形，∠APD=90°，
∴AD=2PQ，
∴（5-m）+1=2（-$\frac{1}{9}$m²+4），
整理得2m²-9m-18=0，
解得m=6或m=-$\frac{3}{2}$，
∵m＞0，
∴m=6，
當(dāng)m=6時(shí)，P（-1，0）與點(diǎn)A重合，故舍棄．
∴△PAD不能成為直角三角形．
（2）由（1）可知，△PAD是等腰三角形，連接AC，則∠CAD＜∠PAD=∠PDA，
∵CE∥AD，
∴∠FCA=∠CAD＜∠PAD=∠PDA，
∴以A、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△PAD相似，只存在△CAF∽△PAD這種情形，
∴$\frac{CA}{CF}$=$\frac{PA}{PD}$=1，
∴CA=CF，
如圖2中，過點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M（2，0），
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=5，
∴CF=5，
∴F（-3，4），
過點(diǎn)A作AN⊥CF于點(diǎn)N，則點(diǎn)N（-1，0）．
過點(diǎn)A作AG⊥PD于點(diǎn)G，則∠APG=∠ACN，
∴tan∠APG=tan∠ACN=$\frac{CN}{AN}$=$\frac{4}{3}$，
設(shè)PG=3x，則AG=4x，
∴AP=$\sqrt{A{G}^{2}+P{G}^{2}}$=5x，
∴DG=5x-3x=2x，
∴AD=$\sqrt{D{G}^{2}+A{G}^{2}}$=2$\sqrt{5}$x，
∵$\frac{1}{2}$•AD•PQ=$\frac{1}{2}$•PD•AG，
∴PQ=2$\sqrt{5}$x=AD，
∴-$\frac{1}{9}$m²+4=5-m+1，
整理得m²-9m+18=0，
解得m=3或m=6．
當(dāng)m=6時(shí)，P（-1，0）與點(diǎn)A重合，故舍棄，
∴m=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、平移、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，利用相似三角形性質(zhì)、面積法、勾股定理構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題．