Question

如圖，正方形ABCD中，點E從點A出發(fā)沿著AD向D運動，（點E不與點A，點D重合）同時點F從點D出發(fā)沿著線段DC向C運動，（點F不與點D，點C重合）點E與F點運動速度相同，當點E停止運動時，另一動點F隨之停止運動，設BE與AF相交于點P，連接PC請研究：
（1）AF=BE，AF⊥BE；
（2）當點E運動到AD中點位置時：
①PA：PB的值是多少？②PC和BC又怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：動點型

分析：（1）根據(jù)題意很容易證得△BAE≌△ADF，即可得到AF=BE，利用正方形內(nèi)角為90°，得出AF⊥DE．
（2）要求兩條線段的關系，需要把兩者放入一直角三角形中，利用三角函數(shù)求解．根據(jù)題意可知此時AF⊥BE，又有中點的關系，可以得出tan∠2=

1

2

，由∠1=∠2，可以求解．
（3）延長AF交BC的延長線于點G，可以得出△ADF≌△GCF，進而得出CG=AD，通過線段的轉換可以得出BC=

1

2

BG，根據(jù)題意可以得出PC=

1

2

BG，即可以得出結論．

解答：（1）證明：∵E在AD邊上（不與A、D重合），點F在DC邊上（不與D、C重合）．
又∵點E、F分別同時從A、D出發(fā)以相同的速度運動，
∴AE=DF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠BAE=∠D=90°，
在△BAE和△ADF中，

AE=DE ∠BAE=∠ADF=90° AB=AD

，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠3=90°即∠APB=90°
∴AF⊥BE．

（2）解：由（1）知當點E運動到AD中點時，點F也運動到DC中點，此時就有AF⊥BE．
∵F是CD的中點，
∴DF=

1

2

CD，
∵AD=CD，
∴DF=

1

2

AD，
∵∠1=∠2，
∴tan∠1=tan∠2
在Rt△ADF中，tan∠2=

DF

AD

=

1

2

，
∴在Rt△APB中，tan∠1=
∴PA：PB的值是1：2．

（3）PC=BC．
證明：延長AF交BC的延長線于點G，
在△ADF和△GCF中

∠D=∠DCG=90° DF=CF ∠AFD=∠GFC

，
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴CG=AD，
∵BC=AD，
∴CG=BC=

1

2

BG，
由（1）知AF⊥BE，
∴∠BPG=90°，
∴△BPG為直角三角形
∴PC=

1

2

BG，
∵BC=

1

2

BG，
∴PC=BC．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，對學生要求有比較高的讀圖能力，同時本題也是探求性試題，做這類題前要求大膽的假設，根據(jù)假設再去證明．需要在平時做題中培養(yǎng)這種能力．