Question

11．某商店經(jīng)銷(xiāo)《超能陸戰(zhàn)隊(duì)》超萌“小白”玩具，“小白”玩具每個(gè)進(jìn)價(jià)60元，每個(gè)玩具不得低于80元出售．銷(xiāo)售“小白”玩具的單價(jià)m （元/個(gè)）與銷(xiāo)售數(shù)量n （個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）試解釋線段AB所表示的實(shí)際優(yōu)惠銷(xiāo)售政策；
（2）寫(xiě)出該店當(dāng)一次銷(xiāo)售n（n＞10）個(gè)時(shí)，所獲利潤(rùn)w（元）與n（個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）店長(zhǎng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的銷(xiāo)售發(fā)現(xiàn)：賣(mài)25個(gè)賺的錢(qián)反而比賣(mài)30個(gè)賺的錢(qián)多，你能用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這一現(xiàn)象嗎？為了不出現(xiàn)這種現(xiàn)象，在其他條件不變的情況下，店長(zhǎng)應(yīng)把最低價(jià)每個(gè)80元至少提高到多少元？

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求線段AB的函數(shù)的解析式，設(shè)m=kx+b，把A（10，100）和B（30，80）代入上式得到關(guān)于k、b的方程組，解方程組求出解析式；然后根據(jù)解析式解釋線段AB所表示的實(shí)際優(yōu)惠銷(xiāo)售政策即可；
（2）分類(lèi)討論：當(dāng)10＜n＜30時(shí)，W=（m-60）n；當(dāng)n≥30時(shí)，W=（80-60）n；
（3）配方W=-n²+50n得到W=-（n-25）²+625，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)討論增減性，可得賣(mài)26個(gè)賺的錢(qián)反而比賣(mài)30個(gè)賺的錢(qián)多．為了不出現(xiàn)這種現(xiàn)象，在其他條件不變的情況下，店長(zhǎng)應(yīng)把最低價(jià)每個(gè)80元至少提高到85元．

解答 解：（1）設(shè)m=kx+b，
把A（10，100）和B（30，80）代入上式，得
$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=100}\\{30k+b=80}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=110}\end{array}\right.$，
∴線段AB的函數(shù)的解析式為m=-n+110（10≤n≤30）；
由解析式可知線段AB所表示的實(shí)際優(yōu)惠銷(xiāo)售政策：一次性銷(xiāo)售10到30個(gè)時(shí)，每多銷(xiāo)售1個(gè)，玩具的單價(jià)下降1元；
（2）當(dāng)10＜n＜30時(shí)，W=（m-60）n=（-n+110-60）n=-n²+50n，
當(dāng)n≥30時(shí)，W=（80-60）n=20n；
（3）W=-n²+50n=-（n-25）²+625，
①當(dāng)10＜n≤25時(shí)，W隨n的增大而增大，即賣(mài)的越多，利潤(rùn)越大；
②當(dāng)25＜n≤30時(shí)，W隨n的增大而減小，即賣(mài)的越多，利潤(rùn)越��；
∴賣(mài)25個(gè)賺的錢(qián)反而比賣(mài)30個(gè)賺的錢(qián)多．
∴當(dāng)n=25時(shí)，m=-n+110=85，
∴當(dāng)每個(gè)玩具不得低于85元時(shí)，n的位置范圍為10＜n≤25，函數(shù)圖象都在最對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，W隨n的增大而增大，即賣(mài)的越多，利潤(rùn)越大，
所以為了不出現(xiàn)這種現(xiàn)象，在其他條件不變的情況下，店長(zhǎng)應(yīng)把最低價(jià)每個(gè)80元至少提高到85元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：先得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）²+k，當(dāng)a＜0，x=h時(shí)，y有最大值k；當(dāng)a＜0，x=h時(shí)，y有最小值k；也考查了二次函數(shù)的增減性以及利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．熟練的運(yùn)用二次函數(shù)的增減性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．