Question

13．如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，動點(diǎn)E在邊BC上，與點(diǎn)B、C不重合，過點(diǎn)A作DE的垂線，交直線CD于點(diǎn)F，設(shè)DF=x，EC=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（2）當(dāng)CF=1，求EC的長．

Answer 1

分析 （1）易證△ADF∽△DCE，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系，然后根據(jù)y的范圍就可得到x的范圍；
（2）由于點(diǎn)F的位置不確定，需分點(diǎn)F在線段DC及點(diǎn)F在線段DC的延長線上兩種情況進(jìn)行討論，然后利用y與x的關(guān)系即可解決問題．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC=AB=2，∠ADC=∠BCD=90°．
又∵AF⊥DE，
∴∠ADF=∠DCE=90°，∠DAF=∠EDC=90°-∠DFA，
∴△ADF∽△DCE，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{DF}{CE}$，
∴$\frac{4}{2}=\frac{x}{y}$，即y=$\frac{1}{2}$x．
∵點(diǎn)E在線段BC上，與點(diǎn)B、C不重合，
∴0＜y＜4，∴0＜$\frac{1}{2}$x＜4，即0＜x＜8，
∴y=$\frac{1}{2}$x，（0＜x＜8）；

（2）①當(dāng)點(diǎn)F線段DC上時，
∵CF=1，
∴DF=x=2-1=1，此時CE=y=$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$；
②當(dāng)點(diǎn)F線段DC延長線上時，
∵CF=1，
∴DF=x=2+1=3，此時CE=y=$\frac{1}{2}$x=$\frac{3}{2}$；
∴當(dāng)CF=1時，EC的長為$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解方程等知識，對運(yùn)算能力的要求比較高，當(dāng)點(diǎn)的位置不確定、相似三角形的對應(yīng)關(guān)系不確定時，常常需要分類討論，避免出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象．