Question

2．如果一條拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．
（1）如圖，△OAB是拋物線y=-x²+bx（b＞0）的“拋物線三角形”，當OA=OB時，求b的值；
（2）若拋物線y=a（x-2）²+b（a＞0，b＜0）的“拋物線三角形”是直角三角形，求a，b滿足的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由△OAB是拋物線y=-x²+bx（b＞0）的“拋物線三角形”，當OA=OB時，易得△AOB是等邊三角形，即可得點A的坐標為：（$\frac{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$b），繼而求得答案；
（2）由于拋物線三角形是等腰三角形，則得到本題中的“物線三角形”是等腰直角三角形，再確定拋物線的頂點坐標為（2，b），即可求得拋物線與x軸兩交點之間的線段長，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可得到a與b的關(guān)系；

解答 解：（1）∵△OAB是拋物線y=-x²+bx（b＞0）的“拋物線三角形”，
∴OA=AB，
∵OA=OB，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB是等邊三角形，
∵拋物線y=-x²+bx（b＞0）與x軸交于點（0，0），（b，0），
∴OA=OB=b，
∴點A的坐標為：（$\frac{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$b），
∴拋物線解析式為：y=-（x-$\frac{2}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
∴-x²+bx=-（x-$\frac{2}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$b-$\frac{1}{4}$b²=0，
解得：b=2$\sqrt{3}$；

（2）∵y=a（x-2）²+b（ab＜0）的“拋物線三角形”是直角三角形，
∴此“物線三角形”是等腰直角三角形，
拋物線的頂點坐標為（2，b），
把y=0代入y=a（x-2）²+b得a（x-2）²+b=0，解得x=2±$\sqrt{-\frac{a}}$，
∴拋物線y=a（x-2）²+b（ab＜0）與x軸兩交點的坐標為（2+$\sqrt{-\frac{a}}$，0），（2-$\sqrt{-\frac{a}}$，0），
∴拋物線y=a（x-2）²+b（ab＜0）與x軸兩交點之間的線段長=2$\sqrt{-\frac{a}}$，
∴|b|=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{-\frac{a}}$，
∴b²=-$\frac{a}$，
∴ab=-1．

點評 此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了拋物線與x軸的交點問題、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．注意根據(jù)題意得到拋物線三角形分別是等邊三角形與等腰直角三角形是解此題的關(guān)鍵．