Question

10．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系 xOy中的點(diǎn)P（a，b），若點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（$a+\frac{k}$，ka+b）（其中k為常數(shù)，且k≠0），則稱點(diǎn)P′為點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”． 例如：P（1，4）的“2屬派生點(diǎn)”為P′（1+$\frac{4}{2}$，2×1+4），即P′（3，6）．
（1）點(diǎn)P（-1，-2）的“2屬派生點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為（-2，-4）；
（2）若點(diǎn)P在x軸的正半軸上，點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”為P'點(diǎn)，且△OPP′為等腰直角三角形，求k的值；
（3）已知點(diǎn)Q為二次函數(shù)$y={x^2}+4\sqrt{3}x+16$圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在函數(shù)$y=-\frac{{4\sqrt{3}}}{x}$（x＜0）的圖象上，且點(diǎn)A是點(diǎn)B的“$-\sqrt{3}$屬派生點(diǎn)”，當(dāng)線段B Q最短時(shí)，求Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“k屬派生點(diǎn)”的定義即可直接求解；
（2）首先利用k表示出P'的坐標(biāo)，根據(jù)△OPP′為等腰直角三角形，確定P'的坐標(biāo)，然后根據(jù)橫坐標(biāo)求得對(duì)應(yīng)的k的值，然后代入縱坐標(biāo)進(jìn)行檢驗(yàn)即可；
（3）設(shè)B（a，b）根據(jù)派生點(diǎn)的定義表示出A的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)$y=-\frac{{4\sqrt{3}}}{x}$的解析式即可得到a和b的關(guān)系，然后根據(jù)點(diǎn)Q在直線$y={x^2}+4\sqrt{3}x+16$圖象上，以及線段BQ最短，即可求得．

解答 解：（1）P（-1，-2）的“2屬派生點(diǎn)”是（-1+$\frac{-2}{2}$，-2×1-2）即（-2，-4），
故答案是：（-2，-4）；   
（2）P的“k屬派生點(diǎn)”為P'點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1-$\frac{2}{k}$，-k-2），
當(dāng)P'在第四象限，且OP=OP'時(shí)，P'的坐標(biāo)是（2，-1），-1-$\frac{2}{k}$=2，解得：k=-$\frac{2}{3}$，此時(shí)-k-2=-$\frac{4}{3}$時(shí)，不符合條件；
當(dāng)P'在第二象限時(shí)，P'的坐標(biāo)是（-2，1），若-1-$\frac{2}{k}$=-2，解得：k=2，此時(shí)-k-2=-4≠1，故不符合條件；
當(dāng)P是直角頂點(diǎn)時(shí)，若OP=PP'，此時(shí)P'即把（2，-1）左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，則P'的坐標(biāo)是（1，-3）．
則當(dāng)-1-$\frac{2}{k}$=1時(shí)，k=-1，此時(shí)-k-2=-3，滿足條件；
同理，當(dāng)P的坐標(biāo)是（-3，-1），若-1-$\frac{2}{k}$=-3時(shí)，k=1，此時(shí)-k-2=-1，此時(shí)滿足條件．
總之，k=±1；
（3）設(shè)B（a，b），
∵B的“$-\sqrt{3}$屬派生點(diǎn)”是A，
∴A（$a-\frac{{\sqrt{3}}}$，$-\sqrt{3}a+b$）
∵點(diǎn)A還在反比例函數(shù)$y=-\frac{{4\sqrt{3}}}{x}$的圖象上，
∴$（a-\frac{{\sqrt{3}}}）（-\sqrt{3}a+b）=-4\sqrt{3}$．
∴${（b-\sqrt{3}a）^2}=12$．
∵$b-\sqrt{3}a＞0$，
∴$b-\sqrt{3}a=2\sqrt{3}$．
∴$b=\sqrt{3}a+2\sqrt{3}$．
∴B在直線l：$y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$上．
設(shè)直線l的平行線為$y=\sqrt{3}x+m$①
∵點(diǎn)Q在直線$y={x^2}+4\sqrt{3}x+16$②圖象上
聯(lián)立①②得${x^2}+3\sqrt{3}x+（16-m）=0$，
由題意△=0 ${x_1}={x_2}=-\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$時(shí)BQ最短，
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為$（-\frac{{3\sqrt{3}}}{2}，\frac{19}{4}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確理解題目中的新的定義，以及PQ最短的條件是關(guān)鍵．