Question

7．如圖，已知在△ABC中，AB=AC=6，AH⊥BC，垂足為點H．點D在邊AB上，且AD=2，聯(lián)結(jié)CD交AH于點E．
（1）如圖1，如果AE=AD，求AH的長；
（2）如圖2，⊙A是以點A為圓心，AD為半徑的圓，交AH于點F．設(shè)點P為邊BC上一點，如果以點P為圓心，BP為半徑的圓與⊙A外切，以點P為圓心，CP為半徑的圓與⊙A內(nèi)切，求邊BC的長；
（3）如圖3，聯(lián)結(jié)DF．設(shè)DF=x，△ABC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，過點D作DG⊥AH于G，由DG∥BC得$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DG}{BH}$=$\frac{DG}{HC}$=$\frac{ED}{EC}$=$\frac{EG}{EH}$=$\frac{1}{3}$，設(shè)EG=a，則EH=3a，列出方程即可解決．
（2）關(guān)鍵兩個圓內(nèi)切、外切半徑之間的關(guān)系，先求出PH，設(shè)BP=x，根據(jù)AH²=AB²-BH²=AP²-PH²列出方程即可解決問題．
（3）如圖3中過點D作DG⊥AF于G，設(shè)AG=t，根據(jù)AD²-AG²=DF²-FG²程即求出t與x的關(guān)系，再利用三角形面積公式計算即可．

解答 解：（1）如圖1中，過點D作DG⊥AH于G，
∵AH⊥BC，AB=AC
∴∠DGE=∠CHG=90°，BH=CH，
∴DG∥BC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DG}{BH}$=$\frac{DG}{HC}$=$\frac{ED}{EC}$=$\frac{EG}{EH}$=$\frac{1}{3}$，設(shè)EG=a，則EH=3a，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AG}{GH}$=$\frac{1}{2}$，
∴AG=2a，AE=3a=2，
∴AH=6a=4．

（2）如圖2中，∵點P為圓心，BP為半徑的圓與⊙A外切，CP為半徑的圓與⊙A內(nèi)切，
∴AP=AD+BP，AP=PC-AD，
∴AD+BP=PC-AD，
∴PC-BP=2AD=4，
∴PH+HC-（BH-PH）=4，
∴PH=2，
∵AH²=AB²-BH²=AP²-PH²，設(shè)BP=x，
∴6²-（x+2）²=（x+2）²-2²，
∴x=2$\sqrt{5}$-2，
∴BC=2BH=2（PB+PH）=4$\sqrt{5}$．

（3）如圖3中，過點D作DG⊥AF于G，設(shè)AG=t，
∵AD²-AG²=DF²-FG²，
∴2²-t²=x²-（2-t）²，
∴t=$\frac{8-{x}^{2}}{4}$，
∴y=S_△ABC=18•S_△ADG=18×$\frac{1}{2}$•AG•DG=9•$\frac{8-{x}^{2}}{4}$•$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{8-{x}^{2}}{4}）^{2}}$，
∴y=$\frac{72x-9{x}^{3}}{16}$$\sqrt{16-{x}^{2}}$（0＜x＜2$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查圓的有關(guān)知識、兩圓的位置關(guān)系、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是用轉(zhuǎn)化的思想，把問題掌握方程解決，屬于中考參考題型．