Question

如圖，以AB為直徑的⊙O交∠BAD的角平分線于C，過(guò)C作CD⊥AD于D，交AB的延長(zhǎng)線于E．
（1）求證：CD為⊙O的切線．
（2）若

CD

AD

=

3

4

，求cos∠DAB．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,角平分線的性質(zhì),勾股定理,解直角三角形

專(zhuān)題：幾何綜合題

分析：（1）連接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根據(jù)切線的判定判斷即可；
（2）連接BC，可證明△ACD∽△ABC，得出比例式，求出BC，求出圓的直徑AB，再根據(jù)勾股定理得出CE，即可求出答案．

解答：（1）證明：連接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC為⊙O半徑，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：連接BC，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB，
∵

CD

AD

=

3

4

，
∴令CD=3，AD=4，得AC=5，
∴

BC

AC

=

3

4

，

BC

5

=

3

4

，
∴BC=

15

4

，
由勾股定理得AB=

25

4

，
∴OC=

25

8

，
∵OC∥AD，
∴

OC

AD

=

OE

AE

，
∴

25 8

4

=

AE- 25 8

AE

，
解得AE=

100

7

，
∴cos∠DAB=

AD

AE

=

4

100 7

=

7

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定以及角平分線的定義、勾股定理和解直角三角形，是中學(xué)階段的重點(diǎn)內(nèi)容．