Question

19．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E是AD上任意一點．
（1）如圖1，連接BE、CE，求證：BE=CE；
（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC于F，當(dāng)∠BAC=45°時，EF=CF；請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)就可以求出∠BAE=∠CAE，再證明△ABE≌△ACE就可以得出結(jié)論；
（2）由BF⊥AC，∠BAC=45°就可以求出AF=BF，在由條件證明△AEF≌△BCF就可以得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AB=AC，D是BC的中點，
∴∠EAB=∠EAC，
在△ABE和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠EAB=∠EAC}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；

（2）當(dāng)∠BAC=45°時，EF=CF．
∵BF⊥AF，
∴∠AFB=∠CFB=90°．
∵∠BAC=45°，
∴∠ABF=45°，
∴∠ABF=∠BAC，
∴AF=BF．
∵AB=AC，點D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠CBF}\\{AF=BF}\\{∠AFE=∠BFC=90°}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BCF（ASA）
∴EF=CF．
故答案為：CF．

點評 本題考查了中點的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定性質(zhì)的運用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．