Question

如圖，⊙O中，點C為

AB

的中點，∠ACB=120°，OC的延長線與AD交于點D，且∠D=∠B．
（1）求證：AD與⊙O相切；
（2）若點C到弦AB的距離為2，求弦AB的長．

Answer 1

考點：切線的判定,解直角三角形

專題：證明題

分析：（1）連接OA，由

CA

=

CB

，得CA=CB，根據(jù)題意可得出∠O=60°，從而得出∠OAD=90°，則AD與⊙O相切；
（2）設(shè)OC交AB于點E，由題意得OC⊥AB，求得CE=2，Rt△BCE中，由三角函數(shù)得BE=2

3

，即可得出AB的長．

解答：（1）證明：如圖，連接OA，
∵

CA

=

CB

，
∴CA=CB，
又∵∠ACB=120°，
∴∠B=30°，
∴∠O=2∠B=60°，
∵∠D=∠B=30°，
∴∠OAD=180°-（∠O+∠D）=90°，
∴AD與⊙O相切；

（2）解：設(shè)OC交AB于點E，由題意得OC⊥AB，
∴CE=2，
在Rt△BCE中，BE=

CE

tan∠B

=2×

3

3

=2

3

．
∴AB=2BE=4

3

．

點評：本題考查了切線的判定和解直角三角形，是中學(xué)階段的中點，要熟練掌握．