Question

如圖，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q．
當(dāng)CQ=

1

3

CE時(shí)，EP+BP=

 

；
當(dāng)CQ=

1

n

CE時(shí)，EP+BP=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：延長(zhǎng)BQ交射線EF于M，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊可得EF∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠M=∠CBM，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PBM=∠CBM，從而得到∠M=∠PBM，根據(jù)等角對(duì)等邊可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根據(jù)CQ=

1

3

CE求出EQ=2CQ，然后根據(jù)△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．

解答：解：如圖，延長(zhǎng)BQ交射線EF于M，
∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴EF∥BC，
∴∠M=∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分線，
∴∠PBM=∠CBM，
∴∠M=∠PBM，
∴BP=PM，
∴EP+BP=EP+PM=EM，
當(dāng)CQ=

1

3

CE時(shí)，則EQ=2CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴

EM

BC

=

EQ

CQ

=2，
∴EM=2BC=2×6=12，
即EP+BP=12；
當(dāng)CQ=

1

n

CE時(shí)，則EQ=（n-1）CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴

EM

BC

=

EQ

CQ

=n-1，
∴EM=（n-1）BC=6（n-1），即EP+BP=6（n-1）；
故答案為：12； 6（n-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，延長(zhǎng)BQ構(gòu)造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．