Question

如圖，⊙O的半徑為2，AB、CD是互相垂直的兩條直徑，點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，點(diǎn)Q是MN的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿著圓周從D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，tan∠QCN的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：利用矩形的性質(zhì)得出OQ=

1

2

MN=

1

2

OP=1，再利用當(dāng)CQ與此圓相切時(shí)，∠QCN最大，此時(shí)，在直角三角形CQ′O中，進(jìn)而求出即可．

解答：解：連接OQ，
∵M(jìn)N=OP（矩形對(duì)角線相等），⊙O的半徑為2，
∴OQ=

1

2

MN=

1

2

OP=1，
可得點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，當(dāng)CQ與此圓相切時(shí)，
∠QCN最大，則tan∠QCN的最大值，
此時(shí)，在直角三角形CQ′O中，
∠CQ′O=90°，OQ′=1，CO=2，
所以 此時(shí)∠Q′CN=30°，
tan∠QCN最大值為：

3

3

．
故答案為：

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系以及特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，得出當(dāng)CQ與此圓相切時(shí)，∠QCN最大進(jìn)而得出是解題關(guān)鍵．