Question

12．在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．
（1）將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG（如圖①），求證：△AEG≌△AEF；
（2）若直線EF與AB，AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M，N（如圖②），求證：EF²=ME²+NF²．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AG=AF，BG=DF，∠GAF=90°，∠BAG=∠DAF，證出∠GAE═∠EAF，由SAS即可得出△AEG≌△AEF；
（2）連接GM，由正方形的性質(zhì)和已知條件得出BE=DF，得出BG=DF=BE=BF，得出∠BMG=45°，因此∠EMG=90°，由勾股定理得出EG²=MG²+ME²=NF²+ME²，再由EG=EF，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，
∴AG=AF，BG=DF，∠GAF=90°，∠BAG=∠DAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠BAG=90°-45°=45°，
即∠GAE=∠EAF，
∴在△AEG和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}&{\;}\\{∠GAE=∠EAF}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△AEF（SAS）；
（2）證明：連接G，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠C=90°，
∵∠CEF=45°
∴CE=CF，DF=DN，BM=BE，
∵BC=CD，
∴BE=DF，
∵BG=DF，
∴BG=DF=BE=BM，
∴∠BMG=45°，
∵∠EMB=45°，
∴∠EMG=90°，
∴MG=$\sqrt{2}$BM，
同理：NF=$\sqrt{2}$DF，
∴MG=NF，
∴EG²=MG²+ME²=NF²+ME²，
∵△AEG≌△AEF，
∴EG=EF，
∴EF²=ME²+NF²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．