Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以CD為弦的⊙P交y軸于點(diǎn)A、B，已知A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，-8）、C（-4，0）、D（4，0）．
（1）求⊙P的半徑；
（2）如圖2，連接DP并延長(zhǎng)交⊙P于E，點(diǎn)Q是直徑DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求OQ的長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）連接PD，設(shè)⊙P的半徑為r，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)得OC=OD=4，OA=8，在Rt△ODP中，根據(jù)勾股定理得（8-r）²+4²=r²，然后解方程即可得到⊙P的半徑；
（2作OQ′⊥DE于Q′，連接OE，如圖2，先利用面積法計(jì)算出OQ′=

12

5

，接著在Rt△OPQ′中，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出PQ′=

9

5

，則EQ′=PE+PQ′=

34

5

，
然后在Rt△OQ′E中，用勾股定理計(jì)算出OE=2

13

，由于點(diǎn)Q在點(diǎn)Q′時(shí)，OQ最短；點(diǎn)Q在點(diǎn)E時(shí)，OQ最長(zhǎng)，于是可得OQ的長(zhǎng)的取值范圍．

解答：解：（1）連接PD，設(shè)⊙P的半徑為r，
∵A（0，-8）、C（-4，0）、D（4，0），
∴OC=OD=4，OA=8，
在Rt△ODP中，OP=OA-PA=8-r，PD=r，OD=4，
∵OP²+OD²=PD²，
∴（8-r）²+4²=r²，解得r=4，
即⊙P的半徑為5；
（2）作OQ′⊥DE于Q′，連接OE，如圖2，
∵PD=5，
∴PE=5，OP=3，
∵

1

2

OQ′•PD=

1

2

•OP•OD，
∴OQ′=

3×4

5

=

12

5

，
在Rt△OPQ′中，PQ′=

OP2-OQ′2

=

9

5

，
∴EQ′=PE+PQ′=5+

9

5

=

34

5

，
在Rt△OQ′E中，OE=

OQ′2+EQ′2

=2

13

，
∵點(diǎn)Q在點(diǎn)Q′時(shí)，OQ最短；點(diǎn)Q在點(diǎn)E時(shí)，OQ最長(zhǎng)，
∴OQ的長(zhǎng)的取值范圍為

9

5

≤OQ≤2

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推理；會(huì)運(yùn)用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．