Question

（1）引入：如圖1，直線AB為⊙O的弦，OC⊥OA，交AB于點(diǎn)P，且PC=BC，直線BC是否與⊙O相切，為什么？
（2）引申：記（1）中⊙O的切線為直線l，在（1）的條件下，如圖2，將切線l向下平移，設(shè)平移后的直線l與OB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)B′，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，與OP的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C′．
①找出圖2中與C′P相等的線段，并說(shuō)明理由；
②如果OB′=9cm，B′C′=12cm，⊙O的半徑為6cm，試求線段B′E的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）要證直線BC與⊙O相切，只需證OB⊥BC，即證∠ABO+∠CBP=90°，易證∠A=∠ABO，∠APO=∠CPB=∠CBP，只需證∠A+∠APO=90°即可．
（2）①要證C′E=C′P，只需證∠EPC′=∠C′EP，即證∠APO=∠C′EP，由于∠A+∠APO=90°，∠B′BE+∠C′EP=90°，只需證∠A=∠B′BE，只需證∠A=∠ABO即可；
②設(shè)B′E=x，運(yùn)用勾股定理可求出B′C′，從而可用x的代數(shù)式表示出C′E、C′P、PO，易證△BB′E∽△AOP，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于x的方程，解這個(gè)方程就可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）直線BC與⊙O相切．    
證明：∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°．
∵OA=OB，CB=CP，
∴∠A=∠ABO，∠CPB=∠CBP．
∵∠APO=∠CPB，
∴∠ABO+∠CBP=90°，即OB⊥BC．
又∵點(diǎn)B在⊙O上，
∴直線BC與⊙O相切．          

（2）①C′E=C′P．
證明：∵OA=OB，∴∠A=∠OBA．
∵∠OBA=∠B′BE，
∴∠B′BE=∠A．
由題意知OB′⊥C′E，
∴∠BB′E=90°，
∴∠B′BE+∠B′EB=90°．
∵OA⊥OC′，
∴∠A+∠OPA=90°，
∴∠OPA=∠B′EB．
∵∠OPA=∠EPC′，
∴∠EPC′=∠C′EP，
∴C′E=C′P．                 
②設(shè)B′E=xcm，
在Rt△OB′C′中，
∵OB′=9，B′C′=12，
∴OC′=

B′C′2+OB′2

=15，
則C′P=C′E=12+x，OP=15-（12+x）=3-x，BB′=OB′-OB=9-6=3． 
∵∠BB′E=∠AOP=90°，∠B′BE=∠A，
∴△BB′E∽△AOP，
∴

B′E

BB′

=

OP

AO

，即

x

3

=

3-x

6

，
解得：x=1，
∴線段B′E的長(zhǎng)為1cm．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解一元一次方程等知識(shí)，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解決第（2）②小題的關(guān)鍵．