Question

某公司對一種新型產(chǎn)品的產(chǎn)銷情況進行了營銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)年產(chǎn)量為x（噸）時，所需的費用y（萬元）與（x²+60x+800）成正比例，投入市場后當年能全部售出且發(fā)現(xiàn)每噸的售價p（單位：萬元）由基礎(chǔ)價與浮動價兩部分組成，其中基礎(chǔ)價是固定不變的，浮動價與x成正比例，比例系數(shù)為-

1

20

．在營銷中發(fā)現(xiàn)年產(chǎn)量為20噸時，所需的全部費用是240萬元，并且年銷售量W最大值為55萬元．（注：年利潤=年銷售額-全部費用）
（1）求y（萬元）與x（噸）之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求年銷售利潤W與年產(chǎn)量x（噸）之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當年銷售利潤最大時，每噸的售價是多少萬元？

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）設(shè)y=k（x²+60x+800），由待定系數(shù)法建立方程求出k值即可；
（2）設(shè)基礎(chǔ)價為a，則p=a-

1

20

x，根據(jù)年利潤=年銷售額-全部費用就可以表示出W與x的關(guān)系式；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論把a、x的值代入p=a-

1

20

x，求出p即可．

解答：（1）設(shè)y=k（x²+60x+800），由題意，得
240=k（20²+60×20+800），
解得：k=

1

10

，
∴y=

1

10

x²+6x+80；
（2）設(shè)基礎(chǔ)價為a，則p=a-

1

20

x，
∴W=px-y=（a-

1

20

x）x-（

1

10

x²+6x+80）=-

3

20

[x-

1

3

×10（a-6）]²+

1

3

×5（a-6）²-80．
∵W最大值為55萬元，
∴

1

3

×5（a-6）²-80=55，
解得：a₁=15，a₂=-3（舍去），
∴W=-

3

20

[x-

1

3

10（15-6）]²+

1

3

×5（15-6）²-80=-

3

20

（x-30）²+55；
（3）∵W=-

3

20

（x-30）²+55，
∴當x=30（噸）時，年銷售利潤最大，
∴p=a-

1

20

x=15-

1

20

×30=13.5（萬元/噸），
∴當年銷售利潤最大時，每噸的售價是13.5萬元．

點評：本題考查了銷售問題的年利潤=年銷售額-全部費用的關(guān)系式的運用，二次函數(shù)的解析式的運用，二次函數(shù)的最值的運用，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．