Question

如圖，⊙O內切于△ABC，P，Q，R為切點，⊙O的切線DE∥BC，M為切點，D，E分別在AB，AC上，已知BC=2，△ABC的周長為8，⊙O的半徑為1，則S_△ADE=

 

．

Answer 1

考點：三角形的內切圓與內心

專題：計算題

分析：連結OM、OQ，如圖，根據切線的性質得OM⊥DE，OQ⊥BC，而DE∥BC，利用平行線的性質得到點M、O、Q共線，即MQ=2，再利用切線長定理得CR=CQ，BP=BQ，EM=ER，DM=DP，則CR+BP=BC=2，由于AC+AB+BC=8，可計算出AE+EM+AD+DM=4，即△ADE的周長為4，接著證明△ADE∽△ABC，利用相似的性質得到

DE

BC

=

△ADE的周長

△ABC的周長

，則可計算出DE=

1

2

BC=1，則可計算出S_梯形BDEC=3，然后利用相似的性質得到

S△ADE

S△ABC

=（

DE

BC

）²=

1

4

，即

S△ADE

S△ADE+3

=

1

4

，利用比例性質可計算得S_△ADE=1．

解答：解：連結OM、OQ，如圖，
∵點M和點Q為切點，
∴OM⊥DE，OQ⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OQ⊥DE，
∴點M、O、Q共線，即MQ=2，
∵P，Q，R、M為切點，
∴CR=CQ，BP=BQ，EM=ER，DM=DP，
∴CR+BP=BC=2，
∵AC+AB+BC=8，
∴AR+AP=8-2-2=4，
∴AE+EM+AD+DM=4，
∴△ADE的周長為4，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

△ADE的周長

△ABC的周長

=

4

8

，
∴DE=

1

2

BC=1，
∴S_梯形BDEC=

1

2

（1+2）•2=3，
∵△ADE∽△ABC，
∴

S△ADE

S△ABC

=（

DE

BC

）²=

1

4

，
∴

S△ADE

S△ADE+3

=

1

4

，
∴S_△ADE=1．
故答案為1．

點評：本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．也考查了相似三角形的判定與性質．