Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，$\frac{BC}{AC}$=$\frac{m}{n}$，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作FD⊥ED，交直線BC于點(diǎn)F．
（1）探究發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若m=n，點(diǎn)E在線段AC上，則$\frac{DE}{DF}$=1；
（2）數(shù)學(xué)思考：
①如圖2，若點(diǎn)E在線段AC上，則$\frac{DE}{DF}$=$\frac{n}{m}$（用含m，n的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論是否任然成立？請(qǐng)僅就圖3的情形給出證明；
（3）拓展應(yīng)用：若AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，DF=4$\sqrt{2}$，請(qǐng)直接寫出CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先用等量代換判斷出∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判斷出△ADC∽△CDB即可；
（2）方法和（1）一樣，先用等量代換判斷出∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判斷出△ADC∽△CDB即可；
（3）由（2）的結(jié)論得出△ADE∽△CDF，判斷出CF=2AE，求出DE，再利用勾股定理，計(jì)算出即可．

解答 解：（1）當(dāng)m=n時(shí)，即：BC=AC，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠DCB，
∵∠FDE=∠ADC=90°，
∴∠FDE-∠CDE=∠ADC-∠CDE，
即∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{AD}{DC}$，
∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴$\frac{AD}{DC}=\frac{AC}{BC}$=1，
∴$\frac{DE}{DF}$=1
（2）①∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠DCB，
∵∠FDE=∠ADC=90°，
∴∠FDE-∠CDE=∠ADC-∠CDE，
即∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{AD}{DC}$，
∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴$\frac{AD}{DC}=\frac{AC}{BC}=\frac{n}{m}$，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{n}{m}$
②成立．如圖，

∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠DCB，
∵∠FDE=∠ADC=90°，
∴∠FDE+∠CDE=∠ADC+∠CDE，
即∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{AD}{DC}$，
∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴$\frac{AD}{DC}=\frac{AC}{BC}=\frac{n}{m}$，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{n}{m}$．
（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，
∵$\frac{DE}{DF}=\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{AE}{CF}=\frac{DE}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=2AE，
在RtDEF中，DE=2$\sqrt{2}$，DF=4$\sqrt{2}$，
∴EF=2$\sqrt{10}$，
①在Rt△CEF中，CF=2AE=2（AC-CE）=2（$\sqrt{5}$-CE），EF=2$\sqrt{10}$，
根據(jù)勾股定理得，CE²+CF²=EF²，
∴CE²+[2（$\sqrt{5}$-CE）]²=40
∴CE=2$\sqrt{5}$，或CE=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（舍）
②在Rt△CEF中，CF=2AE=2（AC+CE）=2（$\sqrt{5}$+CE），EF=2$\sqrt{10}$，
根據(jù)勾股定理得，CE²+CF²=EF²，
∴CE²+[2（$\sqrt{5}$+CE）]²=40，
∴CE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，或CE=-2$\sqrt{5}$（舍），
即：CE=2$\sqrt{5}$或CE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了三角形相似的性質(zhì)和判定，勾股定理，判斷相似是解本題的關(guān)鍵，求CE是本題的難點(diǎn)．