Question

15．如圖1，直線AB：y=-2x+4分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，以B為直角頂點(diǎn)在第一象限作等腰Rt△ABC．

（1）求點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)P為y軸正半軸上一個動點(diǎn)，分別以AP、OP為腰在第一象限、第二象限作等腰Rt△APE和等腰Rt△OPD，連接ED交y軸于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在y軸正半軸上移動時，求PM的長度．

Answer 1

分析 （1）先令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，根據(jù)AAS定理得出△BCD≌△ABO，故可得出CD及BD的長，由此可得出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）首先過點(diǎn)E作CE⊥y軸于點(diǎn)C，連接DC，由以AP、OP為腰在第一、二象限作等腰Rt△APC和等腰Rt△OPD，易證得△AOP≌△CPE（AAS），則可證得PC=OA=2，CE=OP，又可證得四邊形PDCE是平行四邊形，繼而求得PM的長度．

解答 解：（1）∵令y=0，則x=2，令x=0，則y=4，
∴A（2，0），B（0，4）；

（2）過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠DBC+∠DCB=90°，∠DBC+∠ABO=90°，
∴∠DBC=∠BAO．
在△BCD與△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}∠CDB=∠BOA\\∠DBC=∠BAO\\ AB=BC\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ABO（AAS），
∴BD=OA=2，CD=OB=4，
∴OD=4+2=6，
∴C（4，6）；

（3）如圖2，E作CE⊥y軸于點(diǎn)C，連接DC，
則∠ECP=∠POA=90°，
∵△APE是等腰直角三角形，
∴AP=PE，∠APE=90°，
∴∠OPA+∠EPM=90°，
∵∠OPA+∠OAP=90°，
∴∠OAP=∠EPM，
在△AOP和△PCE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AOP=∠PEC\\∠OAP=∠EPC\\ AP=CP\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△PCE（AAS），
∴PC=OA=2，CE=OP，
∵△OPD是等腰直角三角形，
∴DP⊥y軸，PD=OP，
∴CE∥PD，CE=PD，
∴四邊形PDCE是平行四邊形，
∴PM=$\frac{1}{2}$PC=1．

點(diǎn)評 本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．