Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，4），直線x=2與x軸相交于點(diǎn)B，連接OA，拋物線y=x²從點(diǎn)O沿OA方向平移，與直線x=2交于點(diǎn)P．
（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，
①用m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)m為何值時，線段PB最短；
（2）在拋物線平移的過程中，當(dāng)△PMA是等腰三角形時，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：（1）根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出直線OA的解析式．
①由于M點(diǎn)在直線OA上，可根據(jù)直線OA的解析式來表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)镸點(diǎn)是平移后拋物線的頂點(diǎn)，因此可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來設(shè)出這個二次函數(shù)的解析式，P的橫坐標(biāo)為2，將其代入拋物線的解析式中即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
②PB的長，實(shí)際就是P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，因此可根據(jù)其縱坐標(biāo)的表達(dá)式來求出PB最短時，對應(yīng)的m的值．
（2）需要分類討論：以AP為底和以AP為腰兩種情況下的等于三角形，利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行解答即可．

解答：解：（1）設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為y=kx（k≠0），
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x．
①∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且在線段OA上移動，
∴y=2m（0≤m≤2）．
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，2m）．
∴拋物線函數(shù)解析式為y=（x-m）²+2m．
∴當(dāng)x=2時，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤m≤2）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，m²-2m+4）．
②∵PB=m²-2m+4=（m-1）²+3，
又∵0≤m≤2，
∴當(dāng)m=1時，PB最短．

（2）由（1）知，M（m，2m）、P（2，m²-2m+4）．
當(dāng)AP=MP時，|m²-2m|=

(m-2)2+(2m-m2+2m-4)2

，
整理，得m²（m-2）²=2（m-2）²．
∵A（2，4），
∴點(diǎn)P、M均不與點(diǎn)A重合，即m≠2，
解得 m=

2

或m=-

2

（舍去）；
同理，當(dāng)AP=AM時，m=2，不合題意，舍去；
當(dāng)AM=MP時，m=

5

．
綜上所述，m的值是

2

或

5

．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)圖象的平移、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、圖形面積的求法等知識點(diǎn)，主要考查學(xué)生分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．