Question

19．如圖所示，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（6，0），（0，2），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線y=-x+b交折線OAB于點E．
（1）若直線經(jīng)過點C時，則b=2；若直線經(jīng)過點A時，則b=6；若直線經(jīng)過點B時，則b=8．
（2）記△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關系式；
（3）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形O₁A₁B₁C₁，試探究四邊形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出重疊部分的面積；若改變，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點A、C的坐標以及矩形的性質(zhì)即可得出點B的坐標，再利用待定系數(shù)法即可求出當直線分別過點C、A、B時b的值；
（2）分點E在OA或AB上考慮，當點E在OA上，即2＜b≤6時，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征找出點E的坐標，利用三角形的面積公式即可得出S關于b的函數(shù)關系式；當點E在AB上，即6＜b＜8時，找出點F的坐標，利用分割圖形求面積法即可找出S關于b的函數(shù)關系式；
（3）依照題意畫出圖形，找出兩圖形重疊部分為矩形，根據(jù)矩形的面積公式即可得出重疊部分的面積，此題得解．

解答 解：（1）∵A（6，0），C（0，2），四邊形OABC是矩形，
∴B（6，2）．
當直線經(jīng)過點C時，有2=b；
當直線經(jīng)過點A時，有0=-6+b，解得：b=6；
當直線經(jīng)過點B時，有2=-6+b，解得：b=8．
故答案為：2；6；8．
（2）當點E在OA上，即2＜b≤6時，如圖1所示．
當y=0時，有0=-x+b，解得：x=b，
∴E（b，0）．
∴S=$\frac{1}{2}$OC•OE=$\frac{1}{2}$×2×b=b；
當點E在AB上，即6＜b＜8時，如圖2所示．
設直線DE與x軸交于點F，則F（b，0），
AF=AE=b-6，
∴S=$\frac{1}{2}$OF•（OC-AE）=$\frac{1}{2}$×b×[2-（b-6）]=-$\frac{1}{2}$b²+4b．
綜上可知：S=$\left\{\begin{array}{l}{b（2＜b≤6）}\\{-\frac{1}{2}^{2}+4b（6＜b＜8）}\end{array}\right.$．
（3）依照題意，畫出圖形，如圖3所示．
根據(jù)對稱可知：點C′（b-2，b），點O′（b，b），點B′（b-2，6-b），點A′（b，6-b），
∴矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為矩形O₁A₁B₁C₁，
∴矩形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分為以OC、O′C′的長度為邊長的矩形．
∴S_重合=OC•O′C′=2×2=4．
故當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形O₁A₁B₁C₁，四邊形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積不變化，且重疊的面積為4．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及三角形的面積，解題的關鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出b的值；（2）分點E在OA或AB上考慮；（3）找出重疊部分圖形的形狀．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，依照題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是關鍵．